8.5.3 Дискретное преобразование Карунена-Лева

Мы обсуждали дискретное преобразование Карунена-Лева в деталях в разделе 6.3. Здесь мы собираемся добавить приложение этого преобразования к обработке изображений. Пусть дана матрица размера.

в форме - элементного вектор, представленного как

(8.131)

где представляет выборки изображения, асоответствуетотi-ого элемента выборки. Преобразование может рассматриваться как статистическая проблема. Как следует из обсуждения в разделе 4 мы имеем:

(8.132)

где С_х есть ковариационная матрица, а- математическое ожидание, приближенно представимые как

(8.133)

и

(8.134)

где K есть число элементов выборки, - это вектор изэлементов, а- матрица изэлементов. Задача состоит в том, чтобы преобразовать исходное изображение в изображение, ковариационная матрица которого будет диагональной. Имеем:

(8.135)

где представляет собой центрированный вектор изображения, а элементы матрицы В выбираются из ковариационной матрицы, т.е.

(8.136)

где естьiый подвектор, ае_ij -j-ый компонент подвектора. Новая ковариационная матрицаесть

(8.137)

Которая является диагональной по причинам, указанным ниже. Поскольку

(8.138)

то

(8.139)

где , а В - ортогональная матрица. Рассмотримr-й столбец матрицы В (т.е.r-ую строку матрицы В^Т). Тогдасперва выбирается так, чтобы максимизировать дисперсию,выбирается так, чтобы максимизировать дисперсиюпри условии, чтонекореллирован с. Аналогично для остальных игреков. Величина дисперсииумаксимизируется при условии, чтоу некореллирован с. Обозначим СКОчерез. Поскольку, мы имеем

(8.140)

Поскольку y_i некореллированы мы имеем также

(8.141)

Это означает, что

(8.142)

которая является диагональной матрицей элементов , упорядоченных в порядке возрастания амплитуды.

Т.е. мы имеем:

(8.143)

с элементами, равными подвекторам , гдеесть дисперсияi-ого элементауот подвектора.хможет быть восстановлен изупутем использования

(8.144)

поскольку для ортогональных векторов.

Преобразование Карунена-Лева полезно для сжатия данных и поворота изображений. Но это преобразование не является сепарабельным и, т.о., не существует быстрого способа вычисления этого преобразования.

8.6.3 Улучшение посредством определения кластеризации

Для всего множества возможных применений сегодня не существует единой процедуры улучшения изображения. Подходы, доступные для улучшения изображения сильно зависят от существа задачи. Однако, более или менее обобщенный подход может быть сформулирован. Подход посредством классификации, применяемый в бионике, был предложен Боу и Тони в 1983 году. Фундамент этого подхода достаточно интуитивен. Ниже перечислено, что мы в основном ожидаем от обработки изображений:

1. Различение объектов.Ожидается, что все необходимые объекты будут вовлечены в процесс обработки изображения и вдобавок, различные объекты будут отличаться друг от друга настолько, насколько это возможно.

Выделение деталей.Ожидается, что детали интересующих нас объектов будут выделены настолько, насколько это возможно

Рис. 8.61 Улучшение изображения посредством кластеризации

a) исходное изображение b) изображение после обработки

Таким образом, просмотр и анализ изображения состоит в первую очередь в выделении объектов из целого изображения, а затем - в фокусировке нашего внимания на деталях каждого из объектов. Следуя этим требованиям бионики этот алгоритм сперва выполняет кластерный анализ для идентификации объектов, а затем размещает соответствующие динамические диапазоны для каждого из объектов в порядке важности, так, чтобы максимально использовать уровни серого для выделения деталей интересующих объектов и затенить другие объекты, например фон. Любой метод кластеризации может быть использован для подобной классификации. Два из них можно привести в качестве примера: кластеризация по экстремальной точке и ISODATA-алгоритм.

Рисунок 8.62b показывает изображение, полученное обработкой исходного, показанного на рис. 8.62а. Напомним, что подобное изображение уже приводилось в главе 4. Используя этот метод может быть построена общая процедура, и аналогичный результат получен при значительно меньшем вмешательстве человека.