Множества и операции над ними.

1.1 Понятие множества

Понятие множества является исходным строго не определяемым понятием. В математике понятие множество используется для описания совокупности объектов, отличающихся друг от друга и от объектов, не входящих в эту совокупность.

Примеры множеств: множество вершин данного многоугольника, множество натуральных чисел, множество студентов некоторой группы.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: , , , … , а входящие в них элементы – строчными: , , , … .

Если элемент принадлежит множеству , это обозначается , если не принадлежит - .

Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества , обозначается: .

Символом обозначается пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, обозначается: .

Обычно множества задаются одним из двух способов:

1. перечислением входящих в него элементов. Например: .

2. указанием характеристического свойства элементов множества, т.е. свойства, которым обладают все элементы множества и только они. Например: - множество всех равнобедренных треугольников плоскости.

1.2 Логические операции (связки)

Для сокращения записи высказываний, задающих множества, используют логическую символику.

Под высказыванием понимают языковое выражение, о котором можно судить истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами: , , , … . Каждому высказыванию можно приписать значение И (истина) или Л (ложь). Вместо этих символов будем применять числа 1 и 0 соответственно.

Определим логические операции и проиллюстрируем их с помощью таблиц истинности:

• Дизъюнкция (логическая сумма).

Высказывание (читается: « или ») истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний или истинно.

• Конъюнкция _{(логическое умножение).}

Высказывание (читается: « и ») истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.

• Отрицание (или ).

Высказывание (читается: «не », «неверно, что ») истинно тогда и только тогда, когда высказывание ложно.

• Импликация _.

Высказывание (читается: «из следует », «если _, то ») ложно тогда и только тогда, когда высказывание _{истинно, а высказывание ложно.} Во всех остальных случаях высказывание принимает истинное значение.

• Эквиваленция _.

Высказывание (читается: « тогда и только тогда, когда », « _{эквивалентно} ») _{истинно тогда и только тогда, когда высказывания и принимают одновременно одинаковые значения.}

Таблицы истинности применяются для определения истинности или ложности высказывания.

Высказывания, не состоящие из каких-либо других высказываний, называются атомарными высказываниями. Атомарные высказывания также могут принимать одно из двух истинностных значений: истина или ложь. Символы, с помощью которых обозначают атомарные высказывания, называют атомами. Например, высказывание состоит из атомов и .

Очередность выполнения всех логических операций определяется расстановкой скобок. Например, высказывание можно переписать в виде .

_{Порядок выполнения логических операций:}

_{Пример:} Составить таблицу истинности для высказывания _.

_{Решение:}

Пример: При каких значениях атомов высказывание принимает ложное значение?

Решение:

_{Рассмотрим множество всех высказываний. Введем на этом множестве операции сложения, умножения, дополнения, результаты которых также являются высказываниями. Тогда множество высказываний будет алгеброй, которую называют алгеброй высказываний или булевой алгеброй в честь английского математика Джорджа Буля.}

_{Пример: Записать высказывания в виде формул, употребляя атомы для обозначения атомарных высказываний:}

_{а) Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлив, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.}

_{Решение:}

б) Или Сэм пойдет на встречу и Макс не пойдет, или Сэм не пойдет на встречу и Макс отлично проведет там время.

Решение: