![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Преломление лучей сферической поверхностью
П
усть
две однородные прозрачные среды с
показателями преломления п1
и
п2
разделены сферической поверхностью,
радиус кривизны которой R.
Проведем оптическую ось через точки
А1,
А2
и центр кривизны сферической поверхности
С
(рис. 1.11).
Получим
формулу для определения положения точки
А2,
являющейся изображением точки А1.
При этом будем рассматривать только
лучи, составляющие с оптической осью
столь малые углы, что практически можно
считать, что
и
.
Такие лучи называют параксиальными.
При этом учтем правила знаков. Пусть луч А1М падает на сферическую поверхность под углом i. Сопряженный ему луч МА2 (угол преломления r) пересечет оптическую ось в некоторой точке А2. Обозначим А1О = -а1; А2О = +а2; ОС = R (радиус сферы).
Из треугольников МА1С и СМА2 по теореме синусов имеем:
,
или
.
После несложных преобразований приведем последнее выражение к виду:
.
(1.9)
Из (1.9)
видно, что преломлении на сферической
поверхности произведение
не изменяет своей величины Q.
Выражение (1.9) называют параксиальным
(нулевым) инвариантом Аббе (немецкий
физик-оптик). Представленное в виде
,
(1.10)
выражение называется уравнением параксиального (нулевого луча).
При малых углах и все лучи, исходящие из точечного объекта А1, после преломления пересекаются в точке А2. Для параксиальных лучей гомоцентрический пучок после преломления на сферической поверхности остается гомоцентрическим пучком и точка А2 является стигматическим изображением точки А1.
Ограничиваясь
рассмотрением параксиальных лучей,
определим точку, через которую пройдут
после преломления на сферической
поверхности все лучи, которые можно
выделить в параллельном пучке. Для этого
в формуле (1.10) нужно предположить а1
=
.
С учетом этого условия получим заднее
фокусное расстояние:
.
(1.11)
Если
а2
,
найдем переднее фокусное расстояние:
.
(1.12)
Точки, в которых пересекаются после преломления лучи, падающие на сферическую поверхность параллельным пучком, называются передним (F1) и задним (F2) фокусами.
Сравнивая формулы (1.11) и (1.12), можно найти соотношения между фокусными расстояниями:
.
(1.13)
Из формулы (1.13) ясно, что фокусные расстояния пропорциональны показателям преломления сред, в которых лежат фокусы. Знак минус в правой части выражения (1.13) указывает на то, что переднее и заднее фокусное расстояния имеют разные знаки, то есть они лежат по разные стороны преломляющей поверхности.
Преобразуя совместно уравнение параксиального (нулевого) луча (1.10) и уравнения (1.11), (1.12), можно получить формулу
.
(1.14)
Если отсчитать отрезки, определяющие положение точек А1 и А2 от переднего и заднего фокуса соответственно и обозначить эти отрезки через х1 и х2, то получим:
,
.
Подставляя эти выражения в (1.14), получим формулу Ньютона:
.
(1.15)
Применяя полученные результаты для сферического зеркала (п2=-п1), получим формулу сферического зеркала:
.
(1.16)
Фокусное
расстояние сферического зеркала F
= R/2. Фокус
вогнутого зеркала действительный, фокус
выпуклого зеркала мнимый. Для плоского
зеркала
,
и
,
то есть изображение точки в плоском
зеркале мнимое и расположенное симметрично
объекту относительно поверхности
зеркала.