3.9.2 Площадь криволинейного сектора

Область, ограниченная непрерывной линией и двумя лучами и , где и – полярные координаты, называется криволинейным сектором (рисунок 13).

Рисунок 13 – Криволинейный сектор

Площадь криволинейного сектора находится по формуле

. (35)

Пример 52. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепест-ковой розой» (рисунок 14).

Рисунок 14 – «Трехлепестковая роза»

Решение. Найдем границы изменения величины : если , то , тогда , , а ; если , то или , тогда , , а .

Пусть , тогда значение изменяется от 0 до . Вычислим площадь половины одного лепестка «розы» и умножим ее на 6.

(кв.ед.).

3.9.3 Вычисление длины дуги кривой

3.9.3.1 Пусть кривая на отрезке задана уравнением , тогда дифференциал дуги кривой . Интегрируя обе части равенства, получим формулу для нахождения длины дуги кривой:

. (36)

3.9.3.2 Если кривая задана параметрическими уравнениями , то дифференциал дуги кривой , тогда длина дуги кривой находится по формуле

. (37)

Аналогично для пространственной кривой, заданной параметрически длина дуги кривой равна

. (38)

3.9.3.3 Если кривая задана в полярной системе координат , , то дифференциал дуги кривой , а длина дуги находится по формуле

. (39)

Пример 53. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками и .

Решение. Кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат в явном виде. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производную :

.

Пример 54. Найти длину дуги окружности , заключенной между точками и .

Решение. Кривая задана параметрически. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производные и :

, .

.

Пример 55. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами и .

Решение. Кривая задана в полярной системе координат, поэтому длина дуги вычисляется по формуле

.

Найдем . Подставляя в формулу, получим

4 Вопросы для самопроверки

1. Определение первообразной функции. Геометрический смысл совокупности первообразных функций.

2. Определение неопределенного интеграла.

3. Основные интегралы.

4. Свойства неопределенного интеграла.

5. Основные методы интегрирования:

– метод непосредственного интегрирования;

– метод подведения под знак дифференциала;

– метод интегрирования подстановкой;

– метод интегрирования по частям;

– метод интегрирования дробей, содержащих квадратный трех-член в знаменателе;

– интегрирование простейших рациональных дробей I–IV типов;

– разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби; интегрирование рациональной дроби;

– интегрирование иррациональных функций;

– интегрирование тригонометрических функций.

6. Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл.

7. Свойства определенного интеграла.

8. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лей-бница.

9. Формула замены переменной в определенном интеграле.

10. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Определение несобственного интеграла первого рода.

12. Определение несобственного интеграла второго рода.

13. Вычисление площади плоской фигуры.

14. Вычисление длины дуги кривой.

15. Вычисление объема тела вращения.

16. Вычисление площади поверхности вращения.