3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции

(второго рода)

При рассмотрении определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция является ограниченной на . В том случае, когда функция не является ограниченной, задача интегрирования формулируется иначе.

Определение 10. Пусть функция определена и непрерывна в , и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

. (26)

Предел этого интеграла при называется несобственным интегралом второго рода (или интегралом от неограниченной функции) на интервале :

. (27)

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Если , то несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 5).

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке , то

. (28)

Рисунок 5 – Геометрическая иллюстрация несобственного интеграла второго рода

Если функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода имеет вид:

. (29)

Интеграл сходится, если оба несобственных интеграла и сходятся.

Пример 46. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция не определена в точке . По определению несобственного интеграла второго рода имеем

Так как существует конечный предел, то данный интеграл сходится и равен 2, то есть .

Пример 47. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция на отрезке не определена в точке . По определению имеем

если , то .

Следовательно, расходится.

Пример 48. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

Решение. Функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка . Поэтому данный интеграл представим в виде суммы двух несобственных интегралов

то есть сходится.

Аналогично можно показать, что интегралы , , сходятся при и расходятся при .

Данные интегралы используются в признаке сравнения в качестве эталонных.

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегра-лов второго рода с помощью определения, поэтому используют приз-наки сравнения.

4. Приложения определенного интеграла

3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком оси , справа и слева прямыми и (рисунок 6), находится по формуле

. (30)

Рисунок 6 – Криволинейная трапеция	Рисунок 7 – Фигура, ограниченная линиями , ,

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть (рисунок 7), то площадь может быть найдена по формуле

. (31)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и ( для любого ), прямыми и (рисунок 8), можно найти по формуле

. (32)

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком оси , снизу и сверху прямыми и (рисунок 9), то ее площадь находится по формуле

. (33)

Рисунок 8 – Фигура, ограниченная линиями , , и	Рисунок 9 – Криволинейная трапеция, расположенная относительно оси

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

,

то ее площадь находится по формуле

. (34)

Пример 49. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , (рисунок 10).

Рисунок 10 – Криволинейная трапеция

Решение. Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, воспользуемся формулой :

(кв.ед.).

Пример 50. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и (рисунок 11).

Рисунок 11 – Изображение плоской фигуры, ограниченной линиями и

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых

Таким образом, точки пересечения и .

Фигура, ограниченная параболами и , симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить половину площади данной фигуры и полученный результат умножить на 2. Для нахождения площади воспользуемся формулой :

(кв.ед.).

Пример 51. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , (рисунок 12).

Рисунок 12 – Эллипс

Решение. Найдем площадь области, и полученный результат умножим на 4.

Воспользуемся формулой . Так как значение изменяется от 0 до , то значение изменяется от до , тогда

(кв.ед.).