4. Распределения, связанные с нормальным распределением.
Распределение
Пирсона.
Пусть независимые случайные величины
являются стандартными нормально
распределенными величинами. Распределение
случайной величины
называется распределением хи-квадрат
с
степенями свободы, а сама величина
- величиной
хи-квадрат
с
степенями свободы.
Распределение
Стьюдента (t-распределение).
Пусть
-
стандартная нормально распределенная
случайная величина, а
-
случайная
величина, имеющая хи-квадрат-распределение
с
степенями свободы, причем
и
- независимые
величины. Распределение случайной
величины
называется
t-распределением
с
степенями свободы или
-распределением,
а сама величина t-величиной
с
степенями свободы или
-величиной.
Распределение
Фишера (F-распределение).
Пусть
и
- независимые
случайные величины, имеющие
-распределение
соответственно с
k
и l
степенями свободы. Распределение
случайной величины
называется F-распределением
с k
и l
степенями свободы или
- распределением,
а сама величина
-
величиной.
5. Распределение Вейбулла.
Дифференциальный
закон распределения
Вейбулла определяется
двумя параметрами
и
.
Плотность распределения имеет вид:
где >0 и >0.
Интегральная функция распределения имеет вид:
Параметры
и
связаны с
и
формулами:
,
,
где
и
являются функциями
.
Для
и
составлена таблица, которая приведена
в Приложение 6.
Распределению
Вейбулла подчиняются времена безотказной
работы многих технических устройств.
В задачах данного профиля важной
характеристикой является интенсивность
отказа
исследуемых элементов возраста t,
определяемый соотношением
.
Если α=1,
то распределение Вейбулла превращается
в экспоненциальное распределение, а
если α=2,
то в так называемое распределение Релея.
Для справки. В середине 30-х годов ХХ века шведский инженер и математик Вейбулл, анализируя отказы, связанные с износом шарикоподшипников, предложил простую и удобную математическую модель для их описания, которая известна теперь как распределение Вейбулла. Вскоре выдающийся русский математик Б.Гнеденко нашел три класса предельных распределений, один из которых совпадает с распределением Вейбулла. Распределение Вейбулла хорошо описывает распределение времени безотказной работы многих элементов радиоэлектрической аппаратуры, в случае если отказ этих элементов рассматривается как выход какого-либо их параметра за установленные пределы. Вероятностные и статистические методы применяются также при моделировании надежности и риска сложных проектов, долгосрочных программ и их портфелей. Поэтому для количественного анализа надежности как в технических системах машиностроения, радиоэлектроники, приборостроения, энергетики, так и для управления риском в сложных крупномасштабных проектах и долгосрочных целевых программах, а также в метеорологии может быть использовано описание одномерной случайной величины в виде распределения Вейбулла и на этой основе построена комплексная математическая модель для указанных областей приложения.
Существуют и другие законы распределения, такие как распределение Коши, распределение Шарлье, распределение скоростей молекул газа, логарифмически-нормальное распределение, распределение Релея, гамма-распределение.