2.11. Метод пропорційного перерахування

М етод пропорційного перерахування використовується для визначення струмів у порівняно простих електричних колах з послідовно-паралельним з'єднанням елементів і при наявності одного джерела електричної енергії. Сутність методу полягає в тому, що для самої віддаленої від джерела енергії гілки задаються значенням струму, наприклад, 1А, а потім послідовно визначають струми в інших гілках, використовуючи перший і другий закони Кірхгофа (рис.2.24). Далі визначають напругу на затискачах аb, яка у загальному випадку не буде дорівнювати ЕРС джерела напруги. Тоді, обчисливши коефіцієнт k = E/Uab, множать його на значення знайдених струмів, визначаючи тим самим дійсні струми в гілках схеми.

Т

30

ак, для схеми (рис.2.24) маємо:

Отже, дійсні струми в гілках будуть дорівнювати:

І₂=1 А, І₃=1 А, І₄=0,5 А, І₅=0,5 А.

Для складних електричних кіл з декількома джерелами енергії можлива модифікація методу, заснована на тому, що у двох гілках, які сходяться до одного вузла, задаються значеннями струмів, наприклад, 1А, помноженими на коефіцієнти пропорційності k₁ і k₂. Далі, використовуючи перший і другий закони Кірхгофа, виражають струми в інших гілках через введені коефіцієнти. Потім, використовуючи другий закон Кірхгофа для двох контурів, які раніше не брали участі у складанні рівнянь, одержують систему з двох рівнянь, рішення якої і дає значення невідомих коефіцієнтів k₁ і k₂. Далі визначають струми в кожній гілці схеми.

Наприклад, для схеми (рис.2.25) можна задати значення в першій і другій гілках:

І₁=1 k₁=k_1, I₂=1 k₂=k₂.

Якщо обійти контур, який містить гілки зі струмами I₁, I₂ і I₄, то за другим законом Кірхгофа можна одержати:

30I₁ – 30I₂ + 30I₄=90,

або 30k₁ – 30k₂ + 30I₄=90,

звідки І₄=3+k₂­k_1.

Інші струми в гілках визначаємо за першим законом Кірхгофа:

I₃=I₁+I₂=k₁+k₂, I₅=I₄ –I₁=3+k₂ - 2k₁,

I₆=I₂+I₄=3+2k₂ – k₁.

Для визначення коефіцієнтів пропорційності k₁і k₂ складемо рівняння за другим законом Кірхгофа для лівого і правого контурів:

30I₁+10I₃ – 10I₅=E₁,

30I₂+10I₃+10I₆=E₂,

або

30 k₁+10 k₁ +10 k₂ – 30 – 10 k₂+20 k₁=90,

30 k₂+10 k₁+10 k₂ + 30 + 20 k₂ - 10k₁=120.

З першого рівняння безпосередньо визначається:

k₁=2,

а з другого –

k₂=1,5.

Використовуючи формули, які визначають струми через коефіцієнти k₁ і k₂, одержуємо:

I₁=2 A, I₂ =1,5 A, I₃=3,5 A, I₄ =2,5 A, I₅ =0,5 A, I₆=4 A.

2.12. Принцип компенсації та взаємності

2.12.1. Принцип компенсації

Будь-яка частинка електричного кола з напругою U еквівалентна джерелу ЕРС E з тією ж наругою, тобто E=U, або будь-яка електрична гілка з струмом I еквівалентна джерелу струму того ж значення, тобто J=I (рис. 2.26).

Для будь-якого резистора електричного кола можна стверджувати , що він може бути замінений ЕРС, чисельно рівною падінню напруги на цьому резисторі і направленою назустріч струму в цьому резисторі (рис. 2.27).

Д окажемо це твердження, для чого добавимо в гілку з резистором R дві

ЕРС, що дорівнюють за величиною напрузі на резисторі R та направлені назустріч одна одній: Е₁=Е₂ =U=RI=Е (рис. 2.28). При цьому струм I не зміниться.

Складемо рівняння за II-м законом Кірхгофа для контуру а-г-в-а:

R I+U_ва=Е₁,

звідси U_ва=Е₁ -IR=IR-IR=0.

Це означає, що потенціали точок а та в рівні і їх можна об’єднати, закоротивши елементи R та Е₁. Залишається лише ЕРС Е₂=U=IR=Е, направлене назустріч струму.

Принцип компенсації застосовується до лінійних та нелінійних кіл.