1.3 Елементи нечіткої логіки

Згідно одного з найпоширеніших визначень, логіка є аналізом методів міркувань. Вивчаючи ці методи, логіка цікавиться в першу чергу формою, а не змістом доведень в тому або іншому міркуванні. Істинність або помилковість окремих посилань або висновків не цікавить логіку. Її цікавить тільки, чи витікає істинність висновку з істинності посилань. Систематична формалізація і каталогізація правильних способів міркувань – одна з основних завдань логіки.

У логіці з простих висловів шляхом з’єднання їх різними способами можна скласти нові, складніші вислови. Надалі ми розглядатимемо одні тільки істинно-функціональні комбінації, в яких істинність або помилковість нових висловів визначається істинністю або помилковістю складових висловів.

Однією з простих операцій над висловами є заперечення. Наприклад, якщо А є вислів, то заперечення А позначається і читається «не А».

Іншою істинно-функціональною операцією над висловами є кон’юнкція І, яка позначається . Вислів істинний тоді і тільки тоді, коли істинні обидва вислови А. і В. Вислів А і В називають кон’юнктивними членами кон’юнкції .

Операція диз’юнкції над висловами А і В відповідає сполучнику АБО і позначається . У звичайній мові сполучник АБО вживається в двох різних варіантах: розділовому і сполучному. У операції диз’юнкції сполучник АБО має сполучний зміст.

Наступною важливою істинно-функціональною операцією є вислів: ЯКЩО А ТО В. Цей вислів помилковий, коли посилання А істинна, а висновок В помилковий. Позначення вислову ЯКЩО А ТО В наступне: . Цей вираз називають імплікацією.

Вираз «А тоді і тільки тоді, коли В» зазвичай позначається через . Такий вираз називають еквівалентністю. Очевидно, істинно тоді і тільки тоді, коли А і В мають одне і те ж істинне значення.

Нижче наведена таблиця істинності для всіх цих операцій над висловами:

А	В
П	П	Б	П	П	П	П
Б	П	П	Б	П	П	Б
П	Б	Б	Б	П	Б	Б
Б	Б	П	Б	Б	П	П

Символи , &, , , називають пропозиціональними сполучниками. Будь-який вислів, побудований за допомогою цих сполучників, має деяке істинне значення, яке залежить від істинності значень , які складають вислів. Пропозиціональною формою називають вираз, побудований з пропозиціональних букв А, В, С і т. д., за допомогою пропозиціональних сполучників.

Будь-яка пропозиціональна форма визначає деяку істинну функцію, яка графічно може бути представлена таблицею істинності для цієї пропозиціональної форми. Істинною функцією від п аргументів називають будь-яку функцію від п аргументів, яка приймає істинні значення П (правда) та Б (брехня), якщо аргументи її пробігають ті ж значення.

Пропозиціональну форму, яка істинна незалежно від того, які значення приймають пропозиціональні букви, які зустрічаються в ній, називають тавтологією. Пропозиціональна форма є тавтологією тоді і тільки тоді, коли відповідна істинна функція приймає тільки значення П.

Наприклад, наступні пропозиції є пропозиціональною тавтологією:

1) – закон заперечення суперечності;

2) – вираз диз’юнкції через заперечення та імплікацію;

3) .

У свою чергу, пропозиціональну форму, яка помилкова при всіх можливих істинних значеннях її пропозиціональних букв, називають суперечністю, наприклад пропозиціональна форма або .

Слід зазначити, що імплікація має наступну важливу властивість, яка називається правилом відділення (modus-ponens): ЯКЩО істинно і А істинно ТО В істинно. Інакше це правило називають першою формою гіпотетичного силогізму. Під силогізмом мається на увазі дедуктивний висновок, в якому одна думка є необхідним наслідком двох інших. Ця властивість, як було зазначено вище, відіграє важливу роль при моделюванні складних технологічних процесів.

До цих пір розглядали бінарну (булеву) логіку. Тепер перейдемо до логіки з багатьма значеннями. Простором істинності в цій логіці є дійсний інтервал [0, 1]. Ця логіка називається багатозначною або нечіткою і ґрунтується на теорії нечітких множин. Визначимо семантичну функцію істинності цієї багатозначної логіки. Нехай Р є висловом, а – його значенням істинності, при цьому .

Значення заперечення для вислову Р визначається так: . Отже, .

Зв’язка-імплікація завжди визначається наступним чином:

,

а еквівалентність

.

Відзначимо, що розділова диз’юнкція ех, диз’юнкція заперечень або зв’язка Шеффера /, кон’юнкція заперечень і ~→ (не має загальної назви) визначаються як заперечення еквівалентності , кон’юнкції , диз’юнкції та імплікації відповідно. Тавтологія і суперечність відповідно будуть:

.

Більш узагальнено:

.

Визначимо основні зв’язки нечіткої логіки, які найчастіше зустрічаються в двох теоріях нечітких множин.

Логіка, заснована на ( (x), , , – ). В цьому випадку диз’юнкцію і кон’юнкцію визначають так:

.

Зрозуміло, що і – комутативні, асоціативні, ідемпотентні, дистрибутивні і не задовольняють закону виключення третього, тобто і , але задовольняють закону поглинання

,

а також законам Де-Моргана:

.

Еквівалентність визначається як

.

Закон виключення диз’юнкції

.

Нижче наведені вирази для 16 зв’язок:

				P

Тут вважається, що і .

Квантори у висловах будуть:

де x – елемент області міркування.

Багатозначну логіку, засновану на ( (x), , , – ), зазвичай називають K-стандартною послідовною логікою. У цій логіці зв’язки задовольняють наступним властивостям:

імплікація ;

тавтологія і суперечність:

;

;

зв’язки Шеффера і Пірса

В [11] показано, що багатозначна логіка є розмиттям (у сенсі нечіткості) стандартного числення висловлений (у сенсі принципу розширення). У цій логіці кожному вислову Р ставиться у відповідність нормалізована нечітка множина в [0,1], тобто пара інтерпретується як ступінь помилковості і ступінь істинності відповідно. Оскільки логічні зв’язки стандартного числення висловів є функціоналами істинності, тобто представляються у вигляді функцій, то їх можна розмити. Слід зазначити, що вперше дана логіка була запропонована незалежно Кліїном і Дайнесом.

Логіка, заснована на ( (x), , , – ). В цьому випадку диз’юнкція і кон’юнкція визначаються так:

Зрозуміло, що і – комутативні, асоціативні, не ідемпотентні, не дистрибутивні і задовольняють закону

закону Де-Моргана:

а також закону виключення третього

Нижче задані оцінки 16 зв’язок:

				P
pq	1			р
PQ		Q
pq		q
PQ				Q ≈> P
pq
PQ		P ≈> Q
pq				0

Тут , , , , /, ex, ~>, позначаються відповідно через , , , , ||, ex, ≈>, . Тавтологія і суперечність задовольняють наступним властивостям:

У позначеннях Заде імплікація відповідає звичайному включенню нечітких множин, ех або ≈> відповідають симетричною Δ і обмеженою || різницям. Дана логіка була відома під назвою логіки Лукасевича (Ƚ).

Слід зазначити, що дві теорії нечітких множин і побудова на їх основі логіки не є єдиними відомими на сьогоднішній день. В зв’язку з цим доцільно дати семантичний аналіз основних відомих багатозначних логік і почати його слід з викладу відомостей з теорії нечітких «сильних» множин, необхідних для формалізації деяких операцій над нечіткими множинами, які необхідні для проведення семантичного аналізу таких логік.

Хай А і В є нечіткими підмножинами чіткого універсуму U; стало традиційним вважати в теорії нечітких множин, що А є підмножиною В, тоді і тільки тоді, коли , тобто , .

Визначення 1.6. Якщо даний [12] нечіткий оператор імплікації → і нечітка множина В з універсуму U, то нечітка «сильна» множина В з В задається функцією приналежності вигляду:

Тоді ступінь, з яким А є підмножиною В, є

.

Вперше це поняття введене А. Н. Меліховим і Л. С. Бер-штейном в книзі «Розпливчата логіка – основа побудови обчислювальних структур для обробки розпливчатої інформації // Однорідні цифрові обчислювальні і інтегруючі структури.

Визначення 1.7. Якщо даний [12] нечіткий оператор імплікації → на замкнутому одиничному інтервалі [0, 1], то

.

Визначення 1.8. За умов визначення 1.6 степінь, з яким нечіткі множини А і В еквівалентні, або степінь їх «еквівалентності» має вигляд

.

У [12] було показано, що для практичної мети, в більшості випадків, доцільно працювати з багатозначними логіками, в яких логічні змінні приймають значення з дійсного інтервалу I=[0, 1], розбиваючи його на 10 підінтервалів, тобто використовуючи безліч

Операції імплікації в аналізованих логіках, представлені в [13], мають наступний вигляд:

1) S*-логіка:

2) S-логіка («стандартна послідовність»):

3) G-логіка («Геделінанська послідовність»):

4) G43-логіка:

;

5) Ƚ-логіка, або логіка Лукасевича, що вже обговорювалася:

a_Ƚ ;

6) KD-логіка, показана вище:

.

У свою чергу, Z₁–Z₃-логіки, які будуть використані в подальших розділах даної книги, характеризуються наступними операціями імплікації [14]:

7) Z₁-логіка:

8) Z₂-логіка:

9) Z₃-логіка:

Операції імплікації зручно зображати у вигляді таблиць імплікативних переходів для одинадцятизначних логік. Така таблиця для S*-логіки має наступний вигляд (по горизонталі над межею відкладаються значення вихідної логічної посилки, по вертикалі – значення істинності вхідної):

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,5	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,6	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,7	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,8	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1
0,6	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
0,7	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
0,8	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1
0,9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0	0,1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0	0,1	0,2	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0	0,1	0,2	0,3	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0	0,1	0,2	0,3	0,4	1	1	1	1	1	1
0,6	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	1	1	1	1	1
0,7	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	1	1	1	1
0,8	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	1	1	1
0,9	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	1	1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0	0,5	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0	0,33	0,67	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0	0,25	0,5	0,75	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1	1	1	1	1
0,6	0	0,17	0,33	0,5	0,67	0,83	1	1	1	1	1
0,7	0	0,14	0,29	0,43	0,57	0,71	0,86	1	1	1	1
0,8	0	0,13	0,25	0,38	0,5	0,63	0,75	0,88	1	1	1
0,9	0	0,11	0,22	0,33	0,44	0,56	0,67	0,78	0,89	1	1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0,9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0,8	0,9	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0,7	0,8	0,9	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1	1	1	1	1
0,6	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1	1	1	1
0,7	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1	1	1
0,8	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1	1
0,9	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1	1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	1
0,2	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,9	1
0,3	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,7	0,8	0,9	1
0,4	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,6	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,7	0,3	0,3	0,3	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,8	0,2	0,2	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,9	0,1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9	1
0,2	0	0,1	1	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8	0,9	1
0,3	0	0,1	0,2	1	0,7	0,7	0,7	0,7	0,8	0,9	1
0,4	0	0,1	0,2	0,3	1	0,6	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,5	0	0,1	0,2	0,3	0,4	1	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0,6	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	1	0,7	0,8	0,9	1
0,7	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	1	0,8	0,9	1
0,8	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	1	0,9	1
0,9	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	1	1
1	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0	0,1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0	0,1	0,2	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0	0,1	0,2	0,3	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0	0,1	0,2	0,3	0,4	1	1	1	1	1	1
0,6	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,4	1	1	1	1	1
0,7	0	0,1	0,2	0,3	0,3	0,3	0,3	1	1	1	1
0,8	0	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	1	1	1
0,9	0	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,2	0	1/11	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0,3	0	1/12	2/11	1	1	1	1	1	1	1	1
0,4	0	1/13	1/6	3/11	1	1	1	1	1	1	1
0,5	0	1/14	2/13	1/4	4/11	1	1	1	1	1	1
0,6	0	1/15	1/7	3/13	1/3	5/11	1	1	1	1	1
0,7	0	1/16	2/15	3/14	4/13	5/12	6/11	1	1	1	1
0,8	0	1/17	1/8	1/5	2/7	5/13	1/2	7/11	1	1	1
0,9	0	1/18	2/17	3/16	4/15	5/14	6/13	7/12	8/11	1	1
1	0	1/19	1/9	3/17	1/4	1/3	3/7	7/13	2/3	9/11	1

Запишемо аналітичне вираження визначення операції подвійної імплікації для представлених нечітких логік :

де (дивись визначення 1.11).

Визначення 1.9. Верхом нечіткої множини В називають

Визначення 1.10. Низом нечіткої множини В називають

Визначення 1.10. Чіткістю деякого називають вираз виду

Чіткість нечіткої множини В визначається як:

Дамо короткий семантичний аналіз представлених нечітких логік, користуючись при цьому термінологією прийнятою в теорії сильних нечітких множин. Для цієї цілі сформуємо наступне.

Пропозиція 1.1 (міра можливості включення множини). Визначимо функції вигляду в нечітких логіках 1-3.

Відзначимо, що для нечіткої логіки Z₁ чітке включення можливе, якщо , або . Далі розглянемо питання еквівалентності множини.

Пропозиція 1.2 (міра можливості еквівалентності множини). Тут множина і означає, що , або, іншими словами, .

Символ ||| означає «такий як».

З виразів виходить, що для всіх трьох нечітких логік можливість еквівалентності має місце тільки при дійсній еквівалентності множини, тобто . Очевидний також і той факт, що можливість еквівалентності дорівнює 0 в тих випадках, коли один з висловів чітко, тобто або істинно, або помилково, а інше нечітке.

Пропозиція 1.3 (міра, з якою нечітка множина В порожня). У описі означає, що або еквівалентно .

Введемо поняття несумісності (Disjointness) нечіткої множини. Існує два види «несумісності»: перший вигляд визначається ступінню, з якою одна множина А є підмножиною доповнення другого ; другий вигляд – степінь, з якою пересічення множини порожнє, тому сформулюємо наступне.

Пропозиція 1.4 (степінь несумісності множини А і В є степінь, з якою А і В несумісності).

(1.3)

(1.4)

При розглянемо несумісність першого вигляду:

Відзначимо, що степінь несумісності множини рівна 0 тільки для нечіткої логіки Z₂ при цьому обов’язковою умовою є нормальність одного з даної нечіткої множини при одночасній субнормальності іншого.

Пропозиція 1.5 (степінь, з якою множина є підмножиною свого доповнення). Для даних систем матиме наступний вигляд:

Очевидно, що для нечіткої логіки Z₁ міра, з якою множина є підмножиною свого доповнення, дорівнює мірі, з якою ця множина є порожньою. Слід також відзначити, що семантичний аналіз, проведений в [14], а також аналіз, виконаний вище, показує велику схожість у властивостях нечітких логік Z₁ і KD, Проте, як буде показано нижче, нечітка логіка Z₁ в порівнянні з KD-логікою має ряд переваг, що дозволяють успішно її використовувати при формалізації покращення правил нечіткого умовного виводу і для моделювання різних технологічних процесів.