2.3. Табличный вариант замены переменных

Замена переменных является типовой процедурой деятельности при решении задачи ЛП.

Рассмотрим процедуру замены на примере ограничений абстрактной системы уравнений, записанной в форме:

y1=b1+a11x1+a12x2; y1=b2+a21x1+a22x2; y1=b3+a31x1+a32x2; y1=b4+a41x1+a42x2; w=	x3=y1; x4=y2; x5=y3; x6=y4
X=

На примере замены x₁ на y₃ проследим ход решения задачи:

1) a₃₁x₁=y₃–b₃–a₃₂x₂=y₃–(b₃+a₃₂x₂).

2) x₁=

3)

;

Далее по аналогии:

4) ;

;

Аналогия распространяется и на уравнение w:

.

Для замены переменных (при ручном пересчете или при использовании электронных таблиц) удобно использовать топологию табличного варианта представления процедуры замены.

С этой целью используют две одинаковые по форме таблицы:

• таблицу исходных данных, в которую вносят и результаты промежуточных расчетов (табл. 2.1);

• таблицу порожденных данных, которую готовят подобно исходной с учетом возможной последующей ее итерации (табл. 2.2).

Таблицы 2.1 и 2.2 по форме не имеют отличий. В табл. 2.1 вносят исходные данные в левом верхнем углу, а промежуточные данные помещаются в правый нижний угол.

В табл. 2.2 в правом верхнем углу помещаются результаты замены переменных.

Решающий элемент находится на пересечении разрешающей строки (y₃) и разрешающего столбца (x₁) (в случае замены x₁ на y₃).

Подготовленная табл. 2.1 выполняет функции табл. 2.2 при необходимости продолжения операции замены для другой пары переменных.

Последовательность заполнения таблиц 2.1 и 2.2:

1. Заполнить шапку табл. 2.1, т.е. знаками переменных (X), постоянных (B) и w.

2. Заполнить шапку табл. 2.2 аналогично, поменяв местами x_i и y_j (в примере x₁ на y₃ и y₃ на x₃).

3. Заполнить табл. 2.1 исходными данными: {b_j} и {a_ij}.

4. Найти в табл. 2.2 ячейку с разрешающим элементом: обратное значение разрешающего элемента () записать в нижней части ячейки в табл. 2.1 и в верхней части

Таблица 2.1

Исходные и промежуточные данные расчетов

X	B		x1		x2
y1	b1–		a11		a12–
		a11b3/a31		a11/a31		a11a32/a31
y2	b2–		a21		a22–
		a21b3/a31		a21/a31		a21a32/a31
y3	b3		a31		a32
		b3/a31		=1/a31		a32/a31
y4	b4–		a41		a42–
		a41b3/a31		a41/a31		a41a32/a31
W	0–		1		2–
		0b3/a31		1/a31		1a32/a31

Таблица 2.2

Терминально порождаемое отображение при замене x₁ на y₃

X	B	y3	x2
y1			
y2			
x1			
y4			
W			

соответствующей по топологии ячейки в табл. 2.2 (a₃₁  =1/a₃₁ – записать в табл. 2.1 и в табл. 2.2).

5. Уменьшить остальные элементы разрешающей строки на величину обратного элемента и записать их:

5.1) в нижнюю часть соответствующих ячеек в табл. 2.1 и в верхнюю часть ячеек в табл. 2.2 (вместо знака );

5.2) выделить найденные элементы в табл. 2.1 знаком порождения.

6. Умножить элементы разрешающей строки на значение «–» и произвести действия, аналогичные пункту 5.1.

Выделить верхние элементы в ячейках разрешающей строки (кроме разрешающего).

7. Заполнить нижние части оставшихся ячеек в табл. 2.1 произведением значений выделенных элементов соответствующей строки и столбца и выделенных элементов разрешающей строки (b₃; a₃₂).

8. В табл. 2.2 записать разности значений, стоящих в верхней и нижней частях ячеек (в соответствии с п. 8).