2.1. Иллюстрация процесса поиска решения
Рис. 2.1 используем для иллюстрации симплекс-метода решения конкретной задачи линейного программирования.
Дано: ЗЛП в виде алгебраической модели системы уравнений ОДР:
–
общее условие допустимости решений,
где при x1=x2=0
имеем:
x1=x2=0; x3=320; x4=200; x5=280; x6=–100;
w=3820.
Согласно условиям, т.к. x6<0 (равно –100), то решение в точке (0,0) – начало координат на рис. 2.1 – не является допустимым. Точка (0, 0) не принадлежит области допустимых решений:
Для удобства анализа введем буквенное обозначение и представим рис. 2.1 в виде схемы рис. 2.2.
Далее рассуждения ведутся согласно принятой разметке ОДР в симплексах ОДР.
Итак, чтобы получить допустимое решение
необходимо из точки «0» перейти в одну
из точек симплекса {Ai;
Bi; или Ci}, где
.
Задача в примере невырожденная, т.к. во всех точках симплекса только две свободные переменные равны нулю, а именно (см. рис. 2.1):
A1: x2=x6=0;
A2: x1=x6=0
B1: x2=x4=0
B2: x1=x5=0
C1: x3=x4=0
C2: x3=x5=0
Переход из точки «0», где x1=x2=0 в любую из точек {A1; A2; B1; B2} соответствует правилу замены одной свободной переменной на одну базовую.
На рис. 2.2 показаны возможные пути перехода при решении задачи ЛП, соответствующие замене одной свободной переменной на одну базовую.
Очевидно, имеются четыре допустимых
маршрута перехода из точки “0” в
оптимальную точку (симплекс-вершину)
:
1)
;
2)
3)
4)
.
Из них самый короткий путь – через точки
(0, В1,
),
самый долгий – через точки (0, А2,
В2, С2,
).
Заметим, что, если разметка конца стрелки совпадает с разметкой начала следующей по цепочке стрелки, то действует правило транзитивности, сокращающее путь на одну замену.
Визуализация процесса поиска позволяет при иллюстрации алгебраического алгоритма поиска решения по идее симплекс-метода наметить оптимальный маршрут решения задачи.
2.2. Алгебраическое решение
Рассмотрим логику алгебраического хода решения задачи, пролегающего через точки (0–А1–В1– ).
Поиск опорного решения
Т.к. решение в точке “0” недопустимо из-за отрицательности значений x6= –100, напрашивается замена переменной x1 на базовую переменную x6 или x2 на x6.
С точки зрения алгебраических операций, замена переменных не представляет трудностей и требует только внимательных действий субъекта:
уравнение x6=x1 +x2–100 перерешим относительно x1:
x1=x6 –x2+100.
Теперь свободными переменными стали x2 и x6 (см. точку B1).
При x2=x6=0 базовая переменная x1=100, и условие x10 выполняется.
В остальные уравнения подставим полученное значение x1:
x3=320– x2–100– x6– x2=220– x6;
x4=200–100– x6+ x2=100– x6+ x2;
x5=280– x2;
w=3820–500–5
x6+5 x2–4
x2=3320–5
x6+ x2
.
Опорное решение получено и равно:
x6= x2=0; x1=100; x3=220; x4=100; x5=280; w=3320.
Для минимизации w желательно значение x6 сделать не только равным нулю, но и по возможности увеличить, поскольку значение –5x6 вычитается из w=3820.
Вывод. Наличие отрицательных коэффициентов при свободных переменных в случае минимизации функции w указывает на неоптимальность данного решения.
Для анализа выпишем систему полученных уравнений:
x1= x6 – x2+100;
x3=220– x3;
x4=100– x3+ x2;
x5=280– x2;
w=3320–
5x3+ x2
.
Увеличение x6 ограничено переменными x3 и x4, которые (при x2=0) стремятся с ростом x6 к уменьшению:
- при x6=220 имеем x3=0;
- при x6=100 и x2 =0 имеем x4=0.
Следовательно, x4 ограничивает рост x6 раньше, чем x3 (см. рис. 2.1). Путем замены x4 на x6 при x2=0 критерий эффективности станет меньше на 500 усл. ед.: w(x2;x3)=3320–500=2820.
Переход из точки A1B1 очевиден и из рис. 2.1.
По аналогии проведем замену переменных x6 на x4:
x6= 100–x4 + x4;
x1=200– x4;
x3=120– x2+ x4;
x5=280– x2;
w=2820 + 5x4– 4x2 .
Далее по аналогии, чем больше x2, тем лучше решение. Однако x3 ограничивает рост x2 значением x2=120. При этом получаем от замены x2 на x3 выигрыш w= – 4120=480.
Проведем замену x2 на x3:
X2= 120 + x4 – x3;
X1=200– x4;
X5=160– x4+ x3;
x3=220– x3;
w=2380 + x4+4 x3=wmin..
Итак, решение достигнуто в точке x3= x4=0; x1=200; x2=180; x5=160; x6=220; w=2380.
Оно совпадает с результатами, полученными ранее в процессе применения других моделей.