1.Представление чисел в позиционных сс.

Системой счисления называют совокупность правил изображения чисел цифровыми знаками. Исторически сложилось два типа систем счисления: непозиционные и позиционные. В непозиционных системах количественное содержание цифры определяется только ее графическим изображением и не зависит от положения в числе. Они возникли раньше позиционных (например: римскостаровавилонская).

В позиционных системах счисления один и тот же цифровой знак имеет различное количественное содержание, в зависимости от ее расположения (позиции) в последовательности цифр. Основной характер позиционной системы счисления является ее основание (базис). Основанием называется количество знаков или символов, используемые для изображения чисел в данной системе счисления. В позиционной системе счисления произвольное число x может быть представлено в виде полинома от основания d. X_d= A_id_i=a_ndⁿ+…+a₁d¹+a₀d⁰+a_-1d^-1+a_-2d^-2+…+a_-md^-m

Где I – номер разряда (позиции)

A_i - цифра I разряда

D – основание системы счисления

D_i – весовой коэффициент i-того разряда

N, m – целые числа, обозначающие соответственно номер старшего и младшего разрядов числа.

Для обще принятой позиционной десятичной системы счисления (d=10) используется набор из десяти символов (от 0 до 9), в этом случае число Н-р: 627,31₁₀=6*10²+2*10¹+7*10⁰+3*10^-1+1*10^-2 Представление указанного числа состоит из пяти разрядов с соответствием весовых коэффициентов. Три разряда относятся к целой части, а два к дробной. На данном позиционном принципе, выбирая основание d можно строить различные позиционные системы счисления. В ВТ наибольшее распространение получили: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления с основанием d=2,8,16

Чтобы отличить число, записанное в определенной системе счисления в конце записи обычно ставят соответствующие использованию основанию индексы или буквы: для десятичной используют букву – D, для двоичной – B, для восьмеричной – Q, для шестнадцатеричной – H.

При использовании 2-ой системы для обозначения цифр в разрядах необходимо только два символа 0 и 1. При этом Н-р: запись 1101,101 = соответственно десятичному эквиваленту = 1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3 = 13,625₁₀ где 2³, 2², 2¹, 2⁰, 2^-1, 2^-2, 2^-3 – весовые коэффициенты.

8-ая система счисления имеет основание d=8 следовательно для представления цифр в разрядах используются только 8 символов (от 0 до 7) Н-р: 535,47₈ = десятичному эквиваленту = 5*8²+3*8¹+5*8⁰+4*8^-1+7*8^-2 = 349,5937₁₀

16-ая система счисления с основанием D=16 используются 16 символов (0..9 и для остальных 6 символов используются буквы латинского алфавита A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Н-р: А3D2,С2F = 10*16²+3*16¹+13*16⁰+12*16^-1+2*16^-2+15*16^-3 = 2621,7614745…₁₀

Из всех рассмотренных позиционных систем счисления наиболее компактной т.е. использующей меньшее количество разрядов для записи чисел является 16-ая система счисления. С этой точки зрения 2-ая система наиболее расточительна, однако в ней наиболее просто выполняются различные арифметические и логические операции. Кроме того, 2-ая система значительно проще, технически реализуема, поскольку для фиксирования цифр в разрядах необходимы устройства только с двумя возможными состояниями, принимаемые условно за 0 и 1. Связи с этим 2-ая система является в настоящее время основополагающей системой счисления, в которой и производятся преобразование информации в устройствах цифровой техники.

8-ая и 16-ая системы используются в основном для подготовки данных и программирования. Одной из модификаций 2-ого и 10-ого представления чисел является двоично-кодированная десятичная система. Каждая десятичная цифра в такой системе представляется в виде двоичного числа: т.е. в данной системе число записывается в виде нескольких групп (тетрад) составленных из 0 и 1. Н-р: 295,83₁₀ = 0010 1001 0101,1000 0011_2-10

Рассматриваемое представление обычно называют представление в коде 8421, указанные цифры соответствуют значениям весовых коэффициентов разрядов двоичного числа в тетраде (2³=8, 2²=4, 2¹=2, 2⁰=1)

Двоично-кодированную десятичную систему счисления и просто 2-ю систему нельзя считать равнозначными, т.к. одна и та же последовательность 0 и 1 в обеих системах обозначает разные по значению числа. Кроме того максимальное двоичное число в тетраде составляет 1001 т.е. равным 9.

0000-0, 0001-1,0010-2, 0011-3, 0100-4, 0101-5, 0110-6, 0111-7, 1000-8, 1001-9.