Лекция 6. Плоский изгиб
Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты.
Изгиб называется плоским, если плоскость действия момента проходит через главную центральную ось инерции сечения.
Если
изгибающий момент Mx
является единственным внутренним
силовым фактором, то такой изгиб
называется чистым.
При наличии поперечной силы
изгиб
называется поперечным.
Брус, работающий при изгибе, называется балкой.
Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.
Правило
знаков для
:
условимся считать поперечную силу в
сечении положительной, если внешняя
нагрузка, приложенная к рассматриваемой
отсеченной части, стремится повернуть
данное сечение по часовой стрелке и
отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
Изгибающий
момент
в
сечении численно равен алгебраической
сумме моментов внешних сил, приложенных
по одну сторону от рассматриваемого
сечения, относительно оси x , проходящей
через данное сечение.
Правило знаков для : условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
Следует отметить, что при использовании правила знаков для в указанном виде, эпюра всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
Консольные балки
При построении эпюр и в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 1. Рассмотрим балку длиной l защемленную одним концом и находящуюся под действием сосредоточенной силы Р (рис.6.1). Пусть для определенности Р=4 кН, l = 2 м.
О
пределим
внутренние силовые факторы, возникающие
в балке. Воспользуемся методом сечением.
Рассечем балку поперечным сечением в произвольном месте.
Отбросим правую часть.
Заменим ее действие внутренними усилиями N - вдоль оси z, Qy - вдоль оси y и моментом Mx – в плоскости осей yz вокруг оси х. На рис.6.2 в соответствии с принятым правилом знаков показаны положительные направления внутренних силовых факторов.
Уравновесим отсеченную часть. Запишем уравнения статического равновесия, получим
Из первого уравнения видно, что нормальная сила N при изгибе равна нулю, далее не будем ее определять.
Построим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx вдоль длины балки.
Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Qy = P = 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси z.
Изгибающий момент Мх изменяется в зависимости от расстояния z. Вычислим его значение в двух точках: в начале z = 0 и в конце балки z = l = 2 м.
z = 0 (Мх = 0); z = 2 м (Мх = 8 кНм).
Построим по точкам график Мх.
Построение эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qy и Mx определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.
Опасным
сечением называется сечение, в котором
изгибающий момент достигает наибольшего
по модулю значения.
В
некоторых случаях опасным сечением
может быть также сечение, где наибольшего
значения достигает поперечная сила
.
В данном случае опасным является место
закрепления балки.
Пример 2. Построить эпюры и (рис.6.2).
Рис. 6.2
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечную силу в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру .
3. Определяем изгибающий момент в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру , причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.
Дифференциальные
зависимости между
Указанные
зависимости используются при построении
эпюр
,
поэтому приведем их здесь без
соответствующего вывода, который дается
в лекционном курсе.
Пример 3. Построить эпюры (рис.6.3).
В данном случае для правильного построения эпюры необходимо использовать приведенные выше дифференциальные зависимости.
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
3. Строим эпюру .
Характер
эпюры, то есть тот факт, что эпюра
пересекает
ось, говорит о том, что в этом сечении
момент
будет
иметь экстремальное значение.
Действительно, пересечение эпюры с осью
z означает, что в этом сечении
,
а из курса математики известно, что если
производная функции равна нулю, то сама
функция в данной точке имеет экстремальное
значение.
Для определения положения “нулевого” сечения необходимо величину расположенной слева от него ординаты эпюры разделить на интенсивность распределенной нагрузки q:
Рис. 6.3
Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
4.
Вычисляем экстремальное значение
изгибающего момента в сечении, где
:
Строим эпюру .
Балки на двух опорах
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для
плоской системы число уравнений статики
в общем случае равно трем. Если балка
загружена только вертикальными
нагрузками, то горизонтальная реакция
шарнирно-неподвижной опоры равна нулю,
и одно из уравнений равновесия
обращается
в тождество. Таким образом, для определения
реакций в опорах шарнирной балки
используются два уравнения статики:
Условие
используется
для проверки вычисленных значений
опорных реакций.
Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mx.
Пример 4.
z1 |
Для балки, изображенной на рис.6.4 построить эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx и определить опасное сечение. Пусть величины P = 10 кН, a = 2 м, b = 3 м.
Решение.
Определим реакции опор. Запишем уравнения равновесия статики. Из этих уравнений получим:
кН.
кН.
Для проверки правильности определения реакции опор используем уравнение:
;
.
6 – 10 + 4 = 0,
0
0.
Значит, реакции определены правильно.
Определим внутренние усилия, возникающие в материале балки. Следует рассмотреть два участка, границами участков являются точки приложения сосредоточенной силы Р и опорных реакций RA и RB. Обозначим границы участков буквами А, С и В.
Рассечем первый участок АС.
Отбросим правую часть, т.к. она сложнее.
Заменим отброшенную часть внутренними усилиями Qy и Mx.
Уравновесим отсеченную часть, запишем уравнения равновесия:
Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:
при z1 = 0, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 0;
при z1 = а = 2 м, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 12 кНм.
Рис.6.4
Рассмотрим второй участок СВ. Рассечем его и отбросим левую часть, заменим её внутренними силами. Из уравнений равновесия получим
Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:
при z2 = 0, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 0;
при z2 = а = 3 м, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 12 кНм.
Построим эпюры Qy и Mx.
По полученным эпюрам определим опасное сечение, оно проходит через точку приложения силы P, так как Mx достигает там наибольшего значения.
Пример
5.
Для представленной на рис.6.5 балки построить эпюры внутренних сил, найти опасные сечения.
Рис.6.5
Решение.
Определим реакции опор. Заменим распределенную нагрузку q её равнодействующей G=2qa, приложим G в середине участка АС (рис.6.6).
Запишем уравнение равновесия.
;
;
.
Рис.6.6
Отсюда находим:
;
.
Выполним проверку правильности определения реакций опор.
;
;
0 0.
Используя метод сечений, рассмотрим сечения участков балки (рис.6.7).
1 Участок:
;
.
.
Вычислим Qy1 и Mx2 на границах участка.
z=0,
,
;
z=2a,
,
;
2 участок:
;
.
;
.
На границах участка получим
z=0,
,
;
z=a,
,
;
Рис.6.7
Построим эпюры Qy и Mx на участках. Из выражений для внутренних усилий следует, что Qy, эпюра является прямолинейной как на первом, так и на втором участках, в то время как эпюра Мх на первом участке квадратичная парабола, а на втором прямая линия. Для построения эпюры Мх на первом участке следует либо вычислить её значения в нескольких точках, либо исследовать функцию на экстремум и определить его.
Как известно из курса математического анализа, для определения экстремума функции следует определить ее первую производную, приравняв ее нулю найти аргумент, затем его значение подставить в функцию и вычислить экстремум функции.
,
,
,
.
Отложим значение Мх max и построим эпюру изгибающего момента на первом участке по трем точкам (рис.6.5).
По
эпюре находим опасное сечение. Им
является сечение, где
.
Пример
6.
Построить
эпюры
для
балки с шарнирным опиранием (рис.6.8).
Порядок расчета.
1. Вычисляем реакции опор.
Проверка:
2. Намечаем характерные сечения.
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
Строим эпюру .
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
Рис. 6.8
Строим
эпюру
Пример 7. Построить эпюры и для балки на двух опорах с консолью (рис.6.9,а)
Порядок расчета.
1. Вычисляем опорные реакции.
Во
втором уравнении равновесия (впрочем,
как и в первом) момент от распределенной
нагрузки
вычислен
без разбиения ее на две части - слева и
справа от опоры В, то есть определена
равнодействующая нагрузки
-
3,
ее положение (в середине участка с
распределенной нагрузкой), что позволяет
определить плечо равнодействующей
относительно опоры В и направление
создаваемого ею момента. В то же время
можно было в уравнении равновесия
учитывать отдельно части нагрузки
,
приложенные слева и справа от опоры В;
при этом второе уравнение равновесия
имеет вид:
Рис.6.9
Вычисленное
из этого уравнения значение реакции
,
разумеется, совпадает с полученным
ранее.
Проверка:
2. Намечаем характерные сечения.
3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.
Из рассмотрения левой отсеченной части:
Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:
По вычисленным значениям строим эпюры и (рис.6.9,б,в).
Правила контроля эпюр Qу и Mx
Дифференциальные
зависимости между
определяют
ряд закономерностей, которым подчиняются
эпюры
и
.
1. Эпюра является прямолинейной на всех участках; эпюра - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке , и прямолинейная на всех остальных участках.
2.
Под точкой приложения сосредоточенной
силы (реакции) на эпюре
обязательно
должен быть скачок на величину этой
силы (реакции). Аналогично, под точкой
приложения сосредоточенного момента
на эпюре
обязателен
скачок на величину момента.
3.
Если на участке под распределенной
нагрузкой эпюра
пересекает
ось
,
то эпюра
в
этом сечении имеет экстремум.
4.
На участках с поперечной силой одного
знака эпюра
имеет
одинаковую монотонность. Так, при
эпюра
возрастает
слева направо; при
-
убывает.
5.
Порядок линии на эпюре
всегда
на единицу меньше, чем на эпюре
.
Например, если эпюра
-
квадратная парабола, то эпюра
на
этом участке - наклонная прямая; если
эпюра
-
наклонная прямая, то эпюра
на
этом участке - прямая, параллельная оси;
если
(прямая,
параллельная оси), то на этом участке
.
Другие подходы к построению эпюр внутренних силовых факторов
Помимо описанного выше, можно выделить еще два подхода к построению эпюр. В первом случае намечают не характерные сечения, а характерные точки, в качестве которых выделяют точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и конца участков с распределенными нагрузками. Затем определяют величину внутреннего силового фактора слева и справа (бесконечно близко) от характерной точки.
Другой возможный подход состоит в том, что балка разбивается на участки (с распределенными нагрузками и между точками приложения сил и моментов). Для каждого участка записывается выражение внутреннего силового фактора в общем виде как функции координаты z . Затем вычисляются значения на концах каждого участка.
Очевидно, что при обоих подходах в конечном счете все сводится к вычислению внутренних силовых факторов в характерных сечениях, то есть соответствует описанному выше способу, но требует дополнительной, как правило неоправданной, работы.
Правда, следует отметить, что запись общих выражений как функций от z удобна при программировании построения эпюр при помощи вычислительной техники.
Напряжение при чистом изгибе
Как уже указывалось, при прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх (рис. 6.10). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики
.
Сформулируем
предпосылки теории чистого прямого
изгиба призматического стержня. Для
этого проанализируем деформации модели
стержня из низкомодульного материала,
на боковой поверхности которого нанесена
сетка продольных и поперечных рисок
(рис. 6.11). Поскольку поперечные риски
при изгибе стержня парами сил, приложенными
в торцевых сечениях, остаются прямыми
и перпендикулярными к искривленным
продольным рискам, это позволяет сделать
вывод о выполнении гипотезы
плоских сечений,
которая, как показывает решение этой
задачи методами теории упругости,
перестает быть гипотезой, становясь
точным фактом — законом
плоских сечений.
Замеряя изменение расстояний между
продольными рисками, приходим к выводу
о справедливости гипотезы о ненадавливании
продольных волокон
.
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.
Рис.6.10.
Связь внутреннего усилия и напряжения
Рис.6.11.
Модель чистого изгиба
Таким
образом, чистый прямой изгиб призматического
стержня сводится к одноосному растяжению
или сжатию продольных волокон напряжениями
(индекс
г
в дальнейшем опускаем). При этом часть
волокон находится в зоне растяжения
(на рис. 6.11 это—нижние волокна), а другая
часть—в зоне сжатия (верхние волокна).
Эти зоны разделены нейтральным слоем
(п—п),
не меняющим своей длины, напряжения в
котором равны нулю. Учитывая сформулированные
выше предпосылки и полагая, что материал
стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука
в этом случае имеет вид:
,
выведем формулы для кривизны нейтрального
слоя
(
—радиус
кривизны) и нормальных напряжений
.
Предварительно отметим, что постоянство
поперечного сечения призматического
стержня и изгибающего момента (Mх=сonst),
обеспечивает постоянство радиуса
кривизны нейтрального слоя по длине
стержня (рис. 6.12, а),
нейтральный слой (п—п)
описывается дугой окружности.
Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 6.12, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.
а) расчетная схема, б) деформации и напряжения
Рис.6.12. Фрагмент чистого изгиба бруса
Рассмотрим
вырезанный из стержня элемент длиной
dz,
который в масштабе с искаженными в
интересах наглядности пропорциями
изображен на рис. 6.12, б.
Поскольку интерес представляют деформации
элемента, определяемые относительным
смещением его точек, одно из торцевых
сечений элемента можно считать
неподвижным. Ввиду малости
считаем,
что точки поперечного сечения при
повороте на этот угол перемещаются не
по дугам, а по соответствующим касательным.
Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:
.
Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что
.
Продольная
деформация
оказалась
линейной функцией расстояния от
нейтрального слоя, что является прямым
следствием закона плоских сечений
Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно
Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы
Подставляя в это уравнение выражение
и
учитывая, что
,
получаем, что
Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:
и
учитывая, что
где
Jx—главный
центральный момент инерции относительно
оси Ох,
для кривизны нейтрального слоя получаем
формулу
Кривизна
нейтрального слоя
является
мерой деформации стержня при прямом
чистом изгибе.
тем
меньше, чем больше величина EJх,
называемая жесткостью
поперечного сечения при изгибе
(по аналогии с жесткостью поперечного
сечения при растяжении EF).
Подставляя в , получаем формулу для нормальных напряжений в виде
Рис.6.13.
Распределение нормальных напряжений
которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных напряжений в правой части формулы ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 6.9), т. е.
Здесь
введена геометрическая характеристика
,
имеющая размерность м3
и получившая название момента
сопротивления при изгибе. Поскольку
при заданном Mх
напряжения max
тем
меньше, чем больше Wx,
момент сопротивления является
геометрической
характеристикой прочности поперечного
сечения изгибе.
Приведем примеры вычисления моментов
сопротивления для простейших форм
поперечных сечений. Для прямоугольного
поперечного сечения (рис. 6.14, а)
имеем Jх=bh3/12,ymax
=
h/2
и Wx
= Jx/ymax
= bh2/6.
Аналогично для круга (рис. 6.14,б
Jx=
d4/64,
ymax=d/2)
получаем Wx=
d3/32,
для кругового кольцевого сечения (рис.
6.14, в),
у которого
получаем
Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом Mх определяются по формуле
Рис.6.14.
Конфигурации поперечных сечений бруса
Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид
где
max
Mх—максимальное
значение изгибающего момента (легко
определяемое по его эпюре),
—
допускаемое напряжение на простое
растяжение (сжатие). Напомним, что чистый
изгиб балки сводится к растяжению и
сжатию ее волокон (неравномерному в
отличие от деформации растяжения
(сжатия) призматического стержня, при
котором
).
Рис.6.15.
Модель изгиба хрупкого материала
При
расчете балок из хрупких материалов
следует различать наибольшие растягивающие
max
и
наибольшие сжимающие
напряжения
(рис. 6.15), которые также определяются по
модулю непосредственно и сравниваются
с допускаемыми напряжениями на растяжение
и
сжатие
.
Условие прочности в этом случае будет
иметь вид:
.
Напряжения при поперечном изгибе
При
прямом поперечном изгибе в сечениях
стержня возникает изгибающий момент
Мх
и
поперечная сила Qy
(рис.6.16),
которые связаны с нормальными
и
касательными
напряжениями
Рис.6.16.
Связь усилий и напряжений
а)
сосредоточенная сила, б) распределенная
Рис.6.17.
Модели прямого поперечного изгиба:
Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями , происходит депланация поперечных сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 6.17) погрешность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы:
а)
в местах приложения сосредоточенных
сил. Под сосредоточенной силой напряжения
поперечного взаимодействия могут быть
достаточно велики и во много раз превышать
продольные напряжения
,
убывая при этом, в соответствии с
принципом Сен-Венана, по мере удаления
от точки приложения силы;
б)
в местах приложения распределенных
нагрузок. Так, в случае, приведенном на
рис. 6.17, б,
напряжения от давления на верхние
волокна балки
.
Сравнивая их с продольными напряжениями
,
имеющими порядок
,
приходим
к выводу, что напряжения
при
условии, что h2
<<l2,
так как
.
Получим формулу для касательных напряжений . Примем, методика расчета нормальных напряжений известна, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения (рис. 6.18). Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня. Точное решение задачи для прямоугольного поперечного сечения показывает, что отклонение от равномерного распределения , зависит от отношения сторон b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 — только 3,3%.
Рис.6.18.
Расчетная модель поперечного прямого
изгиба
Непосредственное
определение напряжений
затруднительно,
поэтому находим равные им (вследствие
закона парности) касательные напряжения
,
возникающие на продольной площадке с
координатой у
элемента длиной dz,
вырезанного из балки, (рис. 6.18). Сам
элемент показан на рис. 6.19. От этого
элемента продольным сечением, отстоящим
от нейтрального слоя на у,
отсекаем верхнюю часть, заменяя действие
отброшенной нижней части касательными
напряжениями
(индекс
гу
в дальнейшем опускаем), равнодействующая
которых
показана
на рис. 6.19. Здесь, согласно второй
предпосылке
Рис.6.19.
Расчетный элемент бруса
Рис.6.20.
Фрагмент расчетного элемента бруса
по
ширине элемента b.
Нормальные напряжения
и
,
действующие на торцевых площадках
элемента, также заменим их равнодействующими
,
.
Согласно
первой предпосылке нормальные напряжения
определяются уже известным способом,
,
где
—статический
момент отсеченной части площади
поперечного сечения
относительно
оси
Ох.
Рассмотрим
условие равновесия элемента (рис. 6.20)
составив для него уравнение статики
:
откуда после несложных преобразований, учитывая, что
получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня, которая называется формулой Журавского.
Рис.6.21.
Распределение касательных напряжений
по контуру прямоугольного сечения
В этой формуле by — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю).
В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.21). Учитывая, что для этого сечения
получаем
где F=bh—площадь прямоугольника.
Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической параболы, достигая максимума на нейтральной оси
Рис. 6.22.
В круглом сечении (рис. 6.22) эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга
,
получаем
Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33% больше средних напряжений τ=Q/F, по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.
Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 6.22), имеем
,
Максимальное напряжение имеет место на расстоянии y=h/6 от нейтральной линии, то есть в точках средней линии треугольника.
Пример 8. Построить эпюру распределения касательных напряжений для балки двутаврового (№ 12) сечения (рис. 6.23), если Q=10 кН.
Рис. 6.23.
Для построения эпюры схематизируем действительное сечение, представив его в виде трех прямоугольников, как показано на рис. 6.23 пунктиром. Проведя произвольную линию mn, параллельную нулевой линии, и перемещая ее вдоль оси y, обнаруживаем, что при этом напряжения в точках этой линии меняются по параболическому закону, так как мы имеем дело с прямоугольниками. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в крайних волокнах (линия AB), в месте сопряжения полки со стенкой (точки 1 и 2, причем будем считать, что они расположены бесконечно близко к границам полки, но лежат по разные стороны от этой границы) и в точках нейтральной линии.
На рис. 6.23 все размеры даны в мм, а напряжения – в МПа.
Для точек линии AB ширина сечения равна l, а статический момент равен нулю, так как линия AB не отсекает никакой площади. Таким в точках линии AB касательные напряжения равны нулю.
Для точки 1 статический момент равен
Момент инерции сечения относительно нейтральной оси находим по сортаменту Iz=403 см4. Касательное напряжение в точке 1:
Для точки 2 статический момент (с точностью до бесконечно малых величин) остается таким же, но ширина сечения d=0.5 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2
Для точек
Следовательно, при переходе от точки 1 к точке 2 касательное напряжение возрастает в 15 раз и на эпюре получается скачок.
Для точек нейтральной линии ширина сечения d=0.5 см, а статический момент следует взять для половины сечения из сортамента Szmax=38.5 см3. Поэтому
На основании этих данных строим эпюру касательных напряжений для нижней половины сечения. Для верхней половины сечения в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра будет симметричной.
Построенная эпюра условна, так как она дает верные значения касательных напряжений только для точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные напряжения в стенке возрастают, ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой является источником концентрации касательных напряжений. В полках же, где отношение высоты к ширине много меньше единицы, возникают касательные напряжения, перпендикулярные направлению Q, и величина их меняется по ширине сечения.
Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба.
При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле:
где δ - толщина тонкостенного профиля.
На рис. 6.24 построена эпюра τ при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси y и будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:
.
Вдоль стенки τ изменяются по параболическому закону
и направлены в туже сторону, что и сила Q.
Рис. 6.24.
Рис. 6.25.
При изгибе двутавра в плоскости второй оси (рис. 6.25) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по параболическому закону
.
Пример 9. Для балки из пластичного материала, передающей в опасном сечении изгибающий момент Mmax=32 кНм, подобрать двутавровое и прямоугольное сечение (h/b=2), если [σ]=160 МПа. Сравнить массы подобранных балок.
Момент сопротивления определяется из условия прочности:
Ближайший стандартный двутавровый профиль подбираем по сортаменту:
Для прямоугольного сечения имеем:
Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений и составляет 3,1, то есть балка прямоугольного сечения более чем в три раза тяжелее балки двутаврового сечения при условии равной их прочности.
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy (рис.6.26), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.
Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис.6.26), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям
Рис.6.26.
Распределение нормальных и касательных
напряжений по контуру сечения
Рис.6.27.
К сравнительной оценке модулей напряжения
Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max и max на примере консольной балки, показанной на рис. 6.27:
так как
Тогда
откуда
max
<<max
,
а поскольку
то
доминирующим в этом случае будет расчет
по нормальным напряжениям и условие
прочности, например, для балки из
пластичного материала, работающей на
прямой изгиб, как и в случае чистого
изгиба будет иметь вид:
Рациональные формы поперечных сечений при изгибе
Наиболее
рациональным следует признать сечение,
обладающее минимальной площадью при
заданной нагрузке (изгибающем моменте)
на балку. В этом случае расход материала
на изготовление балки, будет минимальным.
Для получения балки минимальной
материалоемкости нужно стремиться к
тому, чтобы по возможности наибольший
объем материала работал при напряжениях,
равных допускаемым или близким к ним.
Прежде всего рациональное сечение балки
при изгибе должно удовлетворять условию
равнопрочности растянутой и сжатой зон
балки.
Иными словами необходимо, чтобы наибольшие
напряжения растяжения (max
)
и наибольшие напряжения сжатия (max
)
одновременно достигали допускаемых
напряжений
и
.
Поэтому
для балки из пластичного материала
(одинаково работающего на растяжение
и сжатие:
,
условие равнопрочности выполняется
для сечений, симметричных относительно
нейтральной оси. К таким сечениям
относится, например, прямоугольное
сечение (рис.6.24, а),
при котором обеспечено условие равенства
.
Однако в этом случае материал, равномерно
распределенный по высоте сечения, плохо
используется в зоне нейтральной оси.
Чтобы получить более рациональное
сечение, необходимо возможно большую
часть материала переместить в зоны,
максимально удаленные от нейтральной
оси. Таким образом, приходим к
рациональному для пластичного материала
сечению в форме симметричного
двутавра
(рис.6.28,б),
у которого возможно большая часть
материала сосредоточена на полках
(горизонтальных массивных листах),
соединенных стенкой (вертикальным
листом), толщина которой
назначается
из условий прочности стенки по касательным
напряжениям, а также из соображений ее
устойчивости. К двутаврому сечению
близко по критерию рациональности так
называемое коробчатое сечение (рис.
6.28, в).
Рис.6.28.
Распределение нормальных напряжений
в симметричных сечениях
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 6.29):
которое вытекает из требования
Рис.6.29.
Распределение напряжений несимметричного
профиля сечения балки.
а)
двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий
уголок, г) равнобокий уголок
Рис.6.30.
Используемые профили сечений:
Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис.6.30: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др. Употребляются также холодногнутые замкнутые сварные профили (рис.6.31).
Рис.6.31.
Замкнутые сварные профили
Поскольку по соображениям технологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен (например, наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72 имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки.
Пример
10.
Для заданных двух схем балок (рис.6.32)
требуется написать выражения Qу,
Мх
для каждого участка в общем виде,
построить эпюры Qу,
Мх,
найти
и
подобрать: для схемы а) деревянную балку
круглого поперечного сечения при
МПа;
для схемы б) стальную балку двутаврового
поперечного сечения при
МПа.
При М
= 20 кН/м,
Р = 20 кН, q = 8 кН/м.
Рис.6.32,а Рис.6.32,б
,
,
,
,
.
Решение.
Рис.6.33,а Рис.6.33,б
Схема а.
1. Для определения внутренних усилий Qу, Мх используем метод сечений. Определим количество участков: граничными точками участков являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и конца распределенной нагрузки. В данной задаче консольная балка имеет два участка. Рассечем последовательно со свободного конца каждый из них. Отбрасывая часть балки, включавшую защемление, определим внутренние силовые факторы в сечении. Поперечная сила равна алгебраической сумме проекций сил, приложенных к отсеченной части на поперечную ось (ось у), изгибавший момент равен алгебраической сумме моментов, возникающих на отсеченной части относительно оси х в сечении. При определении знаков, используем следующее правило: поперечная сила положительна, если отсеченная часть стремится повернуться по часовой стрелке относительно, точки сечения, изгибающий момент положителен, если балка становится вогнутой.
Запишем выражения для внутренних силовых факторов и сосчитаем их значения в граничных точках участков (рис.6.33,а).