Властивості для перех ймовірн:

1. 

2. 

3. Дану властивість можна записати у матричному вигляді:

P(S)P(t)

Виділимо із множини всіх л Макова з неперервним часом, клас ланцюгів що мають неперервні зправа з ймовірн 1. Ланцюг Маркова з неперервним часом будемо називати неперер зправа якщо для будь якого невідємного t можна вказати таке що викон.

Перех ймовір непер зправа ланцюга задовольняє наступну властивість:

4. де

Тема 6

Для непер. Ланцюга маркова (непер. справа) , існує ,де - символ Кронекера,якщо - як вл. Ч. – назив. Інфініт. ,характерного або інтенсивного переходу зі стану i в стан j.

Для інтесив. Переходу використовується умова (7) .Визначимо -сігма-алгебра ,яка породженна випадковою велечиною , дана сігма-алгебра - це найменша сігма – алгебра,яка містить події { } , , при вивчені ланцюга Маркова,важливу роль відіграють деякі випадкові моменти,які мають таку властивість ,що при їх наст. Можна судити ,за траєкторією процесу до моменту ,що розч. Таку властивість мають моменти виходу з початкового стану або моменту першого попадання в деякий стан .Такі моменти назив. Марківські.

Випадкова величина назив. Марківський момент для л. Маркова з непер. часом ,якшо деяка випадкова величина є вимір .

Властивості інфініт. Характеристик

- матриця інфін. Характ.

1. , якщо , ,елем. Які знах.на діаг. Є від'ємн.

2. 

3. , є середн. Час перебування в і-тому стані.

4. - перех. Зі стану I в j

Якщо ,то такий стан назив. Поглинаючим.Це такий стан з якого процес ніколи не вийде.Ланцюг Маркова знепер. Часом і як поводить себе ланц. ,якщо в початковий момент часу лан. Знах. В стані i.

Зазначимо ,що - - парал. Показн. Розподілу за яким розподіл вип.. велечин ,потім з I мов. Стану перех. В стан j і перебуває час ,тобто випадкова велечина розподілу,за вип.. зак. З парам. І таким чином здійснюється перех. Далі Л. Маркова (8) назив.вкладеним л.Маркова

Майстр переходів для вкл. Л.Маркова визначається (9)

Позначимо через - сума М.м. визн. Марк моменти.Якщо викон. (10) .то опис вище констр. Дозв. Побуд. Тракт. Процесу ,якщо мостик випад. ,шо скін . випадк. Велечина,то поведінка ланцюга,можемо описати конят. На проміжку часу При цьому л.Маркова здійснюєна проміжку нескінчену кількість переходів.Ланцюг Маркова для якого вик. Умова (10) назив. Регулярним.

Наведемо 2 достатні умови регулярного л.Маркова з непер. часом,які можна вир. Через вкл. Ланцюг і час перебування в станах.

Для регулярних л.Маркова з перехідн. Ймов. То параметр часу перебув. В станах .

Достатньо викон. Таких умов :

1. Стани вкл.. л.Маркова утворюють один клас ,рекурентних станів.

2. Існує така додатна константа c>0 ,що викон. Умова (11)

Вваж.що л.Маркова є консервативним,якщо викон. Умова ,якщо прис. (12)

***********************************************Тема 7

Теорема 1: (Перша система р-няь Колмогорова, або обернена система р-нянь Колм. )

Якщо л. Маркова є консервативним, то ймовірність переходу задов. наст. систему р-нянь: (13)

При поч.. умовах де , (14) - символ Кронекера

P(t) = || ||= , то (13) (14) можна записати так:

P’(t)=A p(t) (15), p(0)=E (16), E – одинична матриця.

Теорема 2: (друга або перша система Колмогорова)

Якщо л. Маркова є консервативним, sup(- )< (17)

То ймовірність переходу задов. наст. умови:

(18)

(19)

Можна подати 2-гу частину в матричній формі: P’(t)=p(t)A (20), P(0)=E(21)

Теорема 3: (про єдність ймовірного розвязку). Якщо л. Маркова є регулярним, то системи (13) та (18) мають єдиний ймовірний розвязок.

(18) зручна тим, що дає можливість обчислювати безумовні розп. процесу.

P(t) = Po(t)P1(t)… Pk(t)

Pk(t) = p({ })

Нехай в поч. момент визначається розподіл Pi(0)=p({ =i} (22)

Тоді домножимо (18) та поч. розп. (22)

При цьому ми отримали систему р-нянь для безумовної. ймов.

(23)

Система (23) також називається с-мою р-нянь Колмогорова

(23) – розв. при початкових умовах

Розподіл наз. стаціонарним якщо безумовна ймов.. не змінюється з перебігом часу.

Якщо поч. розподіл є стац, то безумовний розподіл буде співпадати з початковим для

(24)

Такі стац ймовірності є розвязкми системи (23), тоді можна записати систему р-нянь для визначення стаціонарної ймовірності в наступному вигляді:

(25)

(26)

Ланцюг Маркова є ергодичним, якщо такий ймовірнісний розподіл , всі і такі що незалежна від «і»

Теорема 4: (Ергодична теорема процесу Маркова)

Якщо для неперервного справа процесу Маркова ланцюг незвідний, то для і та j ергодична ймовірність , якщо ж до того ж перехідна ймовірність задовольняє 2-гій системі р-нянь Колмогорова, а числа такі, що для них вик умова

(27), то для «і» справедлива система: (28)

Тобто ергодичний розподіл співпадає зі стаціонарним .