12. Центр масс системы.

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка, называемая центром масс, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала данной системы координат характеризуется радиус-вектором , определяемым как

,

(2.10)

где  – масса и радиус-вектор -й частицы,  – масса всей системы,  – полное число частиц в системе. Если взять производную по времени от обеих частей уравнения и умножить обе части на , то получится:

или

,

где  – скорость движения центра масс системы. Таким образом, импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость ее центра масс:

.

Подставив это выражение в (2.9), получим:

.

(2.11)

Отсюда следует, что центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс системы материальных точек. Уравнение (2.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы .Если система замкнута, то  и уравнение (2.11) переходит в , следовательно, . Таким образом, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно или покоится.

№19

Классические представления о пространстве и времени

1) Пр-во трехмерно, подчиняется евклидовой геометрии

2) Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Время течет независимо от местоположения тела и измеряется часами, т.е прибором в котором происходит некоторый периодический процесс.

3)Размеры тела и промежутки времени не меняются при переходе из одной инерц. системы отсчета в другую

4)предполагается , что взаимодействие тела распространяестя мгновенно , т.е с бесконечной скоростью

. Преобразования галилея

Движение одного и того же тела можно наблюдать, находясь в разных системах отсчёта. Например, один наблюдатель может стоять на земле, а вто­рой равномерно и прямолинейно будет двигаться на автомобиле. Если каждый из наблюдателей измерит кинематические характеристики движения одного и того же тела, то результаты измерения будут разными. Очевидно, что если из­мерять скорость предмета, движущегося вместе с автомобилем, то у стоящего на земле наблюдателя измеренная скорость будет равна скорости автомобиля, а для сидящего в машине скорость предмета будет равна нулю. Но это скорости одного и того же тела, поэтому результаты измерений связаны между собой. Как именно они связаны, показывают преобразования Галилея.

Рассмотрим преобразования Галилея применительно к одной, простей­шей ситуации, а именно прямолинейному движению одной системы отсчёта относительно другой.

Итак, пусть имеются две системы отсчёта - К и К', движущиеся друг от­носительно друга, причём пусть К движется вдоль оси х (см. рисунок). Эти системы отсчёта отвечают следующим условиям:

1) в момент t=t'=0 начала координат систем отсчёта совпадали (t=t', так как Галилей полагал, что время во всех системах отсчёта течёт одинаково);

2. скорость v₀ и ускорение а₀ начала координат движущейся системы отсчёта К' относительно системы отсчёта К известны;

3. координаты, скорость и ускорение некоторой точки А относительно начала координат неподвижной системы отсчёта К известны.

Необходимо связать координаты, скорость и ускорение точки А в системах отсчёта К иК'.

Положение начала отсчёта движущейся системы относительно системы отсчёта К определяется вектором r₀.

Положение точки А в системе К по условию определяется вектором r, положение точки А в системе К вектором r'. которые, как видно из рисунка, связаны соотношением

r=r_o+r.

Пусть за время dt точка А совершит в системе отсчёта К перемещение dr. Перемещение точки в системе К равно сумме перемещения dr₀ системы К' относительно системы К и перемещения dr' точки А относительно системы К':

dr=dr_o+dr.

Если поделить выражение для перемещений на dt, то получим связь скоростей:

v=v_o+v,

где v - скорость точки А относительно неподвижной системы отсчёта, v' - скорость точки А относительно движущейся системы отсчёта v₀ - скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной.

Взяв производную по времени от выражения для скоростей, получим связь ускорений:

a=a_o+a.

Из последнего выражения видно, что если система отсчёта К^ движется равномерно относительно системы К, т.е. если a_о=0, то ускорения точки в движущейся и неподвижной системах отсчёта одинаковы а=а'.

Спроецировав векторные уравнения на оси координат и учитывая, что r_o=v_ot=v_ot_, получаем:

x=x+vt y=y z=z t=t.

Эти выражения и представляют собой преобразования Галилея. Если известны координаты, скорость и ускорение тела в какой-либо системе отсчёта и скорость другой системы отсчёта относительно данной системы, то преобразования Галилея позволяют вычислить значения всех кинематических характеристик рассматриваемого тела в другой системе отсчёта.