Оценка тесноты связи между факторным и результативным показателями на основе корреляционного анализа (предположим, что уравнение линейное).
2.1 Определение линейного коэффициента корреляции
В рассматриваемом примере переменной х (фактором) является объем инвестиций в основной капитал, а переменной у (результативным признаком) – объем продукции.
Данные для расчета коэффициента корреляции rxy представлены в таблице:
№ |
xi |
уi |
хi- |
уi- |
(хi- )· (уi- ) |
(хi- )2 |
(уi- )2 |
1 |
2,503 |
6,05 |
0,040125 |
0,39375 |
0,015799 |
0,001610 |
0,155039 |
2 |
1,767 |
4,54 |
-0,695875 |
-1,11625 |
0,776770 |
0,484242 |
1,246014 |
3 |
2,592 |
6,05 |
0,129125 |
0,39375 |
0,050843 |
0,016673 |
0,155039 |
4 |
2,238 |
5,12 |
-0,224875 |
-0,53625 |
0,120580 |
0,050569 |
0,287564 |
5 |
2,651 |
5,94 |
0,188125 |
0,28375 |
0,053380 |
0,035391 |
0,080514 |
6 |
2,415 |
5,56 |
-0,047875 |
-0,09625 |
0,004608 |
0,002292 |
0,009264 |
7 |
2,798 |
5,89 |
0,335125 |
0,23375 |
0,078335 |
0,112309 |
0,054639 |
8 |
2,739 |
6,1 |
0,276125 |
0,44375 |
0,122530 |
0,076245 |
0,196914 |
∑ |
19,703 |
45,25 |
|
|
1,222845 |
0,779331 |
2,184987 |
ср. |
2,46287 |
5,65625 |
|
|
|
|
|
По расчетным данным вычислим коэффициент корреляции:
2.2 Проверка значимости линейного коэффициента корреляции
Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза H0 о равенстве коэффициента корреляции нулю: предположим, что при α=0,1, связь между признаками несущественна.
Определим расчетное значение статистики t для генеральной совокупности:
Табличное значение статистики tα берется из таблицы «Критические значения t-критерия Стьюдента» в зависимости от принятого уровня значимости α и числа степеней свободы υ=n–2.
При α = 0,1 и υ = n–2 = 6, tα=1,943.
При α = 0.05 и υ = n–2 = 6, tα= 2,447 (для дальнейших расчетов будем использовать это значение)
При α = 0.001 υ = n–2 = 6, tα= 5,959
В результате расчетов получили: tрасч>tα. Это значит о том, что гипотеза H0 отвергается, что, в свою очередь, свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности с вероятностью γ=1-α, а следовательно о статистической существенности связи между показателями х и у.
2.3 Определение доверительных границ для линейного коэффициента корреляции в генеральной совокупности
Для статистически значимого линейного коэффициента корреляции построим интервальные оценки с помощью z-распределения Фишера:
Примем доверительную вероятность:
γ=0,9, тогда табулированное значение для нормального распределения tγ=1,65.
γ=0,95, тогда табулированное значение для нормального распределения tγ=1,96
γ=0,999, тогда табулированное значение для нормального распределения tγ=3,8
По таблице «Z-распределение Фишера» определим Z' - табличное значение z-распределения: для линейного коэффициента корреляции rxy=0,94, Z'=1,7381.
Далее вычислим доверительные границы для линейного коэффициента корреляции в генеральной совокупности по формуле:
1,000197567 ≤ Z ≤ 2,476002433
0,77≤rxy ≤0,98
0,86156135≤ Z ≤2,61463864
0,7≤rxy ≤0,99
0,0,386883371≤ Z ≤3,437511663
0,04≤rxy ≤0,998
Итак, с вероятностью 1)90%, 2)95%, 3)0,99 можно утверждать, что для генеральной совокупности значение линейного коэффициента корреляции находится в пределах от 0,77 до 0,98.