Характеристика поля

Определение. Подполем поля называется подкольцо в , само являющееся полем.

Например, поле рациональных чисел есть подполе поля вещественных чисел .

В случае, если , то говорят, что поле является расширением своего подполя , а поле называется погруженным в поле . Из определения подполя следует, что нуль и еденицы поля будут содержаться также в и служить для нулём и единицей.

Пусть – некоторое семейство подполей поля , тогда имеет место следующие утверждение.

Теорема. Пересечение любого семейства подполей поля будет подполем в .

Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству аналогичного утверждения для колец.

Пусть, как и ранее, – некоторое подмножество множества поля , такое, что оно содержится в каждом подполе семейства подполей , т.е. , тогда можно определить минимальное подполе поля , содержащее заданное множество :

. (9)

Если взять пересечение , всех подполей, содержащих и некоторый элемент , но не принадлежащий , то будет минимальным полем , содержащим множество .

В этом случае говорят, что минимальное расширение подполя поля получено присоединением к полю элемента , и отражают этот факт в записи .

Аналогично можно говорить о подполе поля , полученном присоединением к полю n-элементов поля .

Пример. Поле чисел вида , где и – любые рациональные числа, является расширением поля рациональных чисел: оно получается присоединением к полю рациональных чисел числа и поэтому может быть обозначено символом .

Определение. Поля и называются изоморфными, если они изоморфны как кольца.

По определению, если

– изоморфизм полей и , то и , где , а .

Замечание. Говорить о гомоморфизмах полей не имеет смысла, так как

.

Напротив, автоморфизмы, т. е. изоморфные отображения поля на себя, связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств в рамках так называемой теории полей Галуа.

Определение. Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым и обозначается .

Теорема. В каждом поле содержится одно и только одно простое поле . Это простое поле изоморфно либо , либо для некоторого .

Доказательство. 1. Предположим, что существует два различных простых подполя и поля .

Это означает, что их пересечение (очевидно, не пустое, поскольку 0 и 1 содержатся как в , так и ), будет простым полем, отличным от и , а это невозможно ввиду их простоты.

Следовательно, наше предположение неверно и простое поле - единственно.

2. В простом поле наряду с единичным элементом 1, содержатся все его кратные

(10)

Из общих свойств операций сложения и умножения элементов в кольцах следует, что

(11)

. (12)

Следовательно, целочисленные кратные составляют некоторое целочисленное коммутативное кольцо .

Поэтому отображение кольца целых чисел в кольцо , определяемое правилом

(13)

является гомоморфизмом колец, ядро которого, будучи идеалом в , имеет вид

(14)

и состоит из тех целых чисел , которые отображаются в нуль, т.е. дают равенство .

Согласно теореме о гомоморфизме, кольцо изоморфно кольцу классов вычетов , где – идеал кольца целых чисел.

Так как кольцо не содержит делителей нуля, следовательно, идеал должен быть простым. Кроме того, идеал не может быть единичным т.е. , потому что иначе выполнилось бы равенство .

Следовательно, есть только две возможности:

Первая: , где – простое число. В этом случае является наименьшим положительным числом со свойством . Таким образом, кольцо изоморфно кольцу классов вычетов по модулю простого числа , т.е.

(15)

Кольцо для простого является полем.

Следовательно, кольцо – так же поле, являющееся простым.

Вторая: и .

В этом случае гомоморфизм целочисленных колец является изоморфизмом.

В этом случае кольцо не является полем, потому что таковым не является кольцо целых чисел.

Простое поле должно содержать не только элементы из , в нем должны быть еще отношения этих элементов.

Известно, что изоморфные целочисленные кольца и имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое поле изоморфно полю рациональных чисел .

Замечание. Действительно, если коммутативное кольцо, например, кольцо целых чисел – вложено в некоторое тело , то внутри из элементов кольца можно строить частные:

(16)

Таким образом, частные составляют некоторое поле , которое называется полем частных коммутативного кольца, в данном случае из кольца обычных целых чисел строится поле рациональных чисел – .

Определение. Поле имеет характеристику нуль, если его простое подполе изоморфно ; поле имеет (простую или конечную) характеристику , если оно изоморфно .

Характеристика поля обозначается , если имеет характеристику нуль и , если имеет конечную (простую) характеристику .

Замечание. Вместо для обозначения абстрактного поля из p элементов служит обычно (Galois Field – поле Галуа).

Следует заметить, что существует конечное поле с элементами, где – простое, а – любое целое положительное число.

Пример. Рассмотрим поле , состоящие из четырех элементов Таблицы Кэли для операций сложения и умножения в поле имеют вид:

					+		0			1
					0		0			1
					1		1			0
													0		1
													1		0

*	0	1
0	0	0	0	0
1	0	1
	0			1
	0		1

Чем являются элементы , нас пока не интересует.

Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка единичного элемента 1 в аддитивной группе поля .

Аналогично, конечная характеристика – общий порядок любого ненулевого элемента в аддитивной группе поля :

(17)

Все числовые поля являются полями характеристики нуль. Все конечные поля являются полями конечной характеристики.

Действительно, если поле – конечное, то среди всех целых, положительных, кратных единице этого поля обязательно будут кратные, равные между собой, в противном случае поле было бы бесконечным.

Пусть

,

где – некоторые натуральные числа, причем .

Тогда

и, следовательно, поле – есть поле конечной характеристики.

Естественно возникает вопрос: каждое ли натуральное число может быть характеристикой некоторого поля ?

Ответ на этот вопрос следующий. Любое простое число , очевидно, является характеристикой поля. Другими словами, не существует полей, характеристиками которых были бы составные числа.

Теорема. Если поле имеет характеристику , то число – простое.

Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Предположим, что – не простое число, тогда его можно представить в виде , где и .

Тогда имеем:

Это означает, что

,

но так как в поле не существует делителей нуля, то из равенства

следует, что либо либо , но это противоречит условию, что поле имеет характеристику . Следовательно, предположение, что – составное число, неверно.

Рассмотрим элементарные свойства поля характеристики нуль и характеристики .

Теорема. Если – поле характеристики нуль, то любое целое кратное всякого отличного от нуля элемента не равно нулю: .

Доказательство. Пусть – произвольный элемент поля отличный от нуля: , а – любое натуральное число.

Тогда

Предположим, что

т.е.

.

Так как в поле нет делителей нуля и, по условию, , то из равенства

следует, что

,

а этого не может быть.

Поэтому предположение, что неверное и, следовательно, при любом натуральном имеем

.

Более того и при любом целом .

Действительно, если элемент

и ,

то и противоположный ему элемент

поля также был бы равен нулю, а этого по доказанному выше, не может быть.

Теорема. Если – поле характеристики , то для любого элемента справедливо равенство

.

Доказательство. Действительно,