4. Интегрирование рациональной функции
Теорема 3. Всякая рациональная функция интегрируема в элементарных функциях.
Если рациональная дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Затем правильную рациональную дробь разлагают на сумму конечного числа простейших дробей. Интегралы от многочлена и простейших дробей вычисляются и представляют собой функции, выражаемые через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Следовательно, интеграл от любой рациональной функции вычисляется.
Пример.
§6. Интегрирование иррациональных функций
Через R(x;y) будем обозначать рациональную функцию от двух аргументов x и y, т.е. функцию, которая получена из x и y и некоторых постоянных с помощью конечного числа рациональных операций: умножения, сложения, вычитания, деления.
Например, 
-
рациональная функция от x
и y;
-
не является рациональной функцией,
т.к. содержит
.
Справедливо утверждение: если R(x;y) – рациональная функция от x и y, а R1(t), R2(t), R3(t)- рациональные функции от переменной t, то R(R1(t),R2(t))∙R3(t)- рациональная функция от t.
I.
Интегралы вида
(1)
R-
рациональная функция от x
и
,
и
Введём подстановку
– линейное уравнение относительно x.
Следовательно,
- рациональная функция от t,
обозначим её R1(t),
тогда dx=(R1(t))dt=R2(t)dt
и, следовательно, x
и dx
рационально выражаются через t.
Получим
.
Значит,
.
Частный случай
интеграла
(1): c=0,
d=1.
Получим
,
следовательно,
.
К интегралу (1) приводят интегралы более общего вида:
. (2)
(2) приводится к
(1) с помощью подстановки
,
где n
- наименьшее общее кратное показателей
m1,…,
mk
.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Разложим дробь на сумму простейших дробей:
Итак,
.
Тогда
.
II.
Интегралы вида
(3)
вычисляются в общем случае с помощью подстановок Эйлера.
Первая подстановка Эйлера применяется, если a>0
(или
)
Тогда
,
,
,
,
.
Итак, x=R1(t),
dx=R2(t)dt.
Тогда
.
Вторая подстановка Эйлера применяется, если c>0
(
или
)
Тогда
,
,
.
Отсюда
,
,
.
Следовательно,
x=R1(t),
dx=R2(t)dt.
Поэтому
.
Замечание 1.
Случаи a>0
и c>0
приводятся один к другому с помощью
подстановки
.
Следовательно, можно избежать
использования второй подстановки.
Третья подстановка
Эйлера
применяется, если
имеет действительные корни α
и β.
Тогда
=a(x-)(x-β).
Подстановка
(или
).
Тогда =t2(x-)2,
a(x-)(x-β)=t2(x-)2,
a(x-β)=t2(x-),
ax-aβ-t2x=-t2α,
x(a-t2)=aβ-t2α.
Следовательно,
,
,
,
.
Итак,
.
Следовательно,
.
Замечание 2. При сделанных предположениях можно преобразовать:
Следовательно,
,
и интеграл вида (3)
сводится к
интегралу вида (1)
(см. пример
2)
Пример 3.
.
a=1>0.
Значит, применим первую подстановку
Эйлера:
=t-x.
Отсюда x2-x+1=t2-2tx+x2,
1-x=t2-2tx,
2tx-x=t2-1.
Следовательно,
.
Тогда
.
Из подстановки
имеем
.
Тогда
.
Разложим дробь на сумму простейших:
;
;
.
Частные случаи (некоторые иррациональности)
.
С помощью выделения полного квадрата
в подкоренном выражении сводится к
табличным интегралам.
.
В числителе выделяем производную
подкоренного выражения. Поделив
почленно, получим табличный интеграл
и интеграл предыдущего типа.
Пример 4.
.
-
подстановка
.
.
Применяется тригонометрическая подстановка mx=ntgt или mx=nctgt.
Частный случай
Применяется
тригонометрическая подстановка
(
)
Частный случай
Применяется тригонометрическая подстановка mx=nsint (mx=ncost)
Частный случай
7)
;
.
Тогда
;
;
.