Министерство общего и профессионального образования РФ

___________________

Санкт-Петербургский

государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

_________________________________________________

Р. А. САКАЕВ, Б. М. ПЕРЛОВ

ОЛИМПИАДНЫЕ И РЕЙТИНГОВЫЕ ЗАДАЧИ

по начертательной геометрии

практическое пособие к решению задач повышенной сложности

Санкт-Петербург

2001

УДК 514.18

Р. А. Сакаев, Б. М. Перлов. Олимпиадные и рейтинговые задачи по начертательной геометрии: Практическое пособие к решению задач повышенной сложности / СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2001. 28 с.

Приведены 45 задач повышенной сложности и идеи их решений по всем разделам и темам утвержденной программы.

Даны примеры решений и оформления рейтинговой задачи на формате А4.

Настоящий сборник задач представляет собой вторую редакцию методических указаний [1], переработанных и дополненных авторами в соответствии с новыми рабочими программами СПбГЭТУ.

Предназначены для углубленного изучения начертательной геометрии в рамках дисциплин “Инженерная и компьютерная графика” и “Инженерная графика”.

Материал сборника можно использовать для подготовки к олимпиадам, как по начертательной, так и по компьютерной геометрии.

Рецензент: Кафедра инженерной и машинной геометрии и графики БГТУ «Военмех», зав. кафедрой проф. Д. Е. Тихонов-Бугров.

 Сакаев Р. А., Перлов Б. М., 2001

Введение

Основной целью пособия является организация учебного процесса с помощью задач повышенной сложности при ориентации на самостоятельную работу студентов. С этих позиций была выполнена сортировка задач по определенным темам в соответствии с календарными планами дисциплины и степенью сложности отдельных ее разделов.

В таблице приведены номера задач в соответствии с разделами и темами учебной дисциплины, преподаваемой в СПбГЭТУ.

Раздел	Тема	№ задачи
1.Изображение геометрических объектов на эпюре Монжа	. Точка. . Прямая. . Плоскость. 1.4. Кривые линии и поверхности.	1 2 - 3 4 - 7 8
2. Преобразование чертежа	Способ замены плоскостей проекций. Способ вращения.	9 - 14 15 - 16
3. Позиционные задачи	3.1. Пересечение прямой с плоскостью или с поверхностью 3.2. Плоские сечения. 3.3. Пересечение поверхностей.	17 - 20 21 - 26 27
4. Метрические задачи	4.1. Измерение расстояний Измерение углов Истинная форма плоской фигуры. 4.4. Развертка поверхностей	28 - 32 33 34 35
Все разделы по стандартам образования	Все темы для немашиностроительных вузов. Представлены лучшие задачи олимпиад 2000 года и последних лет	36 - 45

Подразумевается, что при последовательном изучении тем необходимы твердые знания пройденных разделов. Например, в задаче 31, относящейся к разделу 4, для получения искомого результата сначала необходимо воспользоваться знаниями из тем разделов 1, 2, 3 и затем  снова 2.

3

Таким образом, сложность задач постепенно возрастает.

В первой главе (оглавление на с. 28) даны условия всех задач.

Во второй главе приведены идеи решений ко всем задачам.

В третьей главе даны примеры графических решений для трех задач, вызвавших в свое время наибольшие трудности на олимпиадах С.-Петербурга и Москвы. Представленное на с. 28 решение соответствует требованиям стандартов к текстовым конструкторским документам, содержащим тексты, расчеты, иллюстрации, рисунки (в т.ч. и чертежи). Чертеж, выполняемый на одном листе, должен снабжаться рамкой и основной надписью по форме 2. Рейтинговые задачи и домашние задания, выполняемые в СПбГЭТУ, должны соответствовать этому примеру. Все последующие листы конструкторских документов должны иметь рамку и основную надпись по упрощенной форме 2а. Такой пример дан на с. 27.

Приведены только такие задачи, для которых решения не отличаются громоздкостью, а условия, по возможности, связаны с реальными примерами из технической практики. С этой целью ряд задач составлен авторами. Остальные  заимствованы из олимпиад ЭТУ, С.-Петербурга, Москвы и литературных источников [2-4].

В зависимости от подготовленности обратившегося к данному сборнику задач авторы рекомендуют три варианта решения:

• прочитав условие, попытаться решить задачу самостоятельно;

• ознакомиться с идеей решения и решить самому;

• для задач третьей главы можно воспользоваться идеей и графическим решением, а далее действовать самостоятельно, пытаясь либо воспроизвести разобранное, либо дать собственный вариант решения.

Первые 35 задач можно использовать на олимпиадах ЭТУ, конкурсах или как рейтинговые, т.е. премиальные, альтернативные традиционным задачам.

Задачи 36 - 45 могут заинтересовать студентов, готовящихся выступить на олимпиадах самого высокого уровня. Для этого, прежде всего, необходимо познакомиться с темами, изучаемыми в полном курсе начертательной геометрии (последняя строка таблицы).

Индивидуальность работы студентов на практическом занятии достижима при введении преподавателем небольших изменений в исходные данные любой задачи.

4

1. Условия задач

Задача 1. Построить точки В и С, симметричные точке А: для В - относительно биссекторной плоскости второй четверти пространства, для С - относительно оси проекций х₁₂ .

Задача 2. Электрокабели a и b соединить кабелем наименьшей длины при условии а₂|| b_2.

Задача 3. От наземной станции метро (точка М) кратчайшим расстоянием проложен тоннель |MQ|= m к подземной линии q метрополитена. Достроить недостающую фронтальную проекцию тоннеля.

Задача 4. Установить глубину скважины в точке D, если глубины скважин в точках A, B и С известны, а угольный пласт условно принят плоским.

5

Задача 5. Построить плоскость, равноудаленную от прямых а и b. Задачу решить без способов преобразования чертежа.

Задача 6. Горизонталь h равноудалена от точек А и В и наклонена под углом 30 к плоскости П₂. Не преобразуя чертеж, найти недостающую проекцию горизонтали h, если y_A = y_B.

Задача 7. Прямая t равноудалена от точек А и В. Достроить недостающие проекции этих точек.

Задача 8. Построить очерки сферы, заданной центром О и точкой А на поверхности.

6

Задача 9. Шар  падает вниз на неподвижный шар . Найти точку касания шаров.

Задача 10. Шар с центром в точке О и диаметром d₁ катится по наклонному щиту . Определить положение центра шара в момент касания им поверхности земли.

Задача 11. Две скрещивающиеся прямые а и b пересечь третьей прямой с, проходящей через точку С.

Задача 12. Построить плоскость проекций, на которую скрещивающиеся отрезки a и b проецируются как равные по модулю и параллельные по направлению.

7

Задача 13. Построить направление радиосигнала, прошедшего от антенны А к антенне В, отразившись от ионизированного облака  (с||d). Угол падения считать равным углу отражения. Антенны точечные.

Задача 14. По двум проекциям а₂ и a₅  восстановить проекцию а₁.

Задача 15. Достроить квадрат ABCD, если BD – диагональ, расположенная горизонтально и лежащая на линии h, заданной горизонтальной проекцией.

Задача 16. Радиомачта i с антенной установлена на крыше здания и поддерживается в вертикальном положении растяжками АВ длиной |АВ|= m. Найти точки А и В крепления растяжки соответственно на мачте и крыше из условия: АВ^П₁ = 45, АВ^П₂ =30. Сколько растяжек возможно установить?

8

Задача 17. Самолет перемещается по прямолинейной траектории t. В какой точке пути слышимость им радиостанций A и B будет одинаковой? Физическими условиями пренебречь.

Задача 18. Стрелок А ожидает появления из-за сопки  цели B, движущейся по траектории с. Построить точку B, соответствующую моменту появления цели.

Задача 19. Поместить источник света D на высоте h так, чтобы середины картин B, C и середина поверхности стола A освещались одинаково.

Задача 20. В какую точку зеркала ABCD надо направить луч из точки Е, чтобы, отразившись, он прошел через точку F?

9

Задача 21. Установить в точке К плоскость зеркала таким образом, чтобы при наблюдении по направлению ЕК было видно изображение точки  F.

Задача 22. Малая планета S (точечный источник) освещает планету  радиуса r с центром в точке О. Тень от планеты  падает на планету-гигант , поверхность которой условно плоская и задана двумя каналами f и h. Определить контур тени на планете .

Задача 23. Построить точки пересечения окружности r с поверхностью конуса.

Задача 24. Построить три проекции куба с сечением его по правильному шестиугольнику.

9

Задача 21. Установить в точке К плоскость зеркала таким образом, чтобы при наблюдении по направлению ЕК было видно изображение точки  F.

Задача 22. Малая планета S (точечный источник) освещает планету å радиуса r с центром в точке О. Тень от планеты å падает на планету-гигант D, поверхность которой условно плоская и задана двумя каналами f и h. Определить контур тени на планете D.

Задача 23. Построить точки пересечения окружности r с поверхностью конуса.

Задача 24. Построить три проекции куба с сечением его по правильному шестиугольнику.

10

Задача 25. Построить границы обзора Земли из иллюминатора спутника С.

Угол конуса обзора  =30. Углы наклона оси этого конуса ₁ = ₂= 60. Поверхность Земли считать горизонтальной.

Задача 26. Построить вершины S и S двух пирамид SABC и S^A^B^C^, заданных основаниями АВС и А^В^С^, если SA||S^A^, SB||S^B, SC||S^C^.

Задача 27. По изображениям головок крепежных винтов достроить их горизонтальные проекции.

11

Задача 28. На прямой АВ определить точки, отстоящие от оси x₁₂ на расстоянии r.

Задача 29. В точках A и B находятся лазеры. Определить точку возможного положения ракеты C, если ее расстояния до лазеров равны соответственно 20 и 14 км. Высота полета 10 км, |AB|=20 км.

Задача 30. Найти горизонталь, пересекающую прямые а и b в точках А и В, если |АВ| = m. Сколько решений?

Задача 31. Положение борта корабля задано прямыми а|| b. На расстоянии m от края а над палубой расположена артиллерийская установка Е. Определить минимальное расстояние |ЕК|, с которого может быть сделан выстрел по цели К, движущейся по траектории t .

12

Задача 32. При наблюдении из пункта А часть траектории t космического аппарата С загорожена планетой . Найти эту часть.

Задача 33. Каркас заградительного щита состоит из двух скрепленных в точке К стержней а и b, равной длины и одинаково наклоненных к земной поверхности. Какое положение должен занимать стержень b, чтобы угол наклона щита к земле составил 60 ?

Задача 34. Достроить прямоугольный треугольник АВС, если АС - гипотенуза, расположенная горизонтально, угол при вершине С равен 30, а вершина В выше точки А. Сколько решений?

Задача 35. Построить проекции поверхности, заданной разверткой и линией АВ на ней.

13

Задача 37. Шар положен на доску, установленную на двух пирамидках из плотно уложенных таких же шаров (на виде сверху доска и стол условно не показаны). В какую сторону покатится шар по доске? Определить величину угла между плоскостями стола и доски.

Задача 38. В точках А и В находятся радиолокаторы. Самолет перемещается в направлении t. Определить точки, в которых лучи локаторов будут сходиться к самолету, пересекаясь под прямым углом.

14

Задача 38. Построить дополнительную вертикальную плоскость проекций так, чтобы траектория t движения объекта оказалась в биссекторной плоскости новой системы плоскостей проекций.

Задача 39. Построить плоскость, равно наклоненную к прямым m, n, k и проходящую через точку Т.

Задача 40. Построить плоскость , лежащую на трех сферах с центрами соответственно в точках A, B и C.

15

Задача 41. Построить проекции сферы, касающейся граней ABC и ABD двугранного угла с общим ребром АВ, а также горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Задача 42. Повернуть ABC вокруг стороны AB до положения, когда фронтальная проекция угла при вершине C станет равной 90.

Задача 43. Построить фронтальную и горизонтальную проекции плоского сечения поверхности прямого эллиптического конуса так, чтобы сечение оказалось окружностью с диаметром, равным b.

16

Задача 44. Построить сферу, на поверхности которой находятся четыре заданные точки пространства.

Задача 45. Начертить сферу, вписанную в пирамиду. Построить развертку поверхности пирамиды. Начертить пирамиду в стандартной аксонометрии. Определить радиус сферы и координаты ее центра. Вычислить площадь развертки.

17