Решение:

Так как требуется разложить в ряд косинусов, то надо продолжить функцию четным образом, то есть ее график будет симметричен относительно оси (оу). На рисунке 7 изображен график полученной четной функции: на заданном интервале (0; ) – сплошной линией, на интервале (–; 0) – пунктиром .

Рис. 7.

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (1.17)–(1.18):

= = = = 0

а _n = = = =

= + nx dx = – = – (–1)ⁿ =

= [ 1 – (–1) ⁿ] =

а_2n+1 = k =0,1,2, …

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f(x) = – = .

§ 8. Разложение в ряд Фурье функций с “двойной симметрией”.

Опр. 14. Если функция f(x) периода 2ℓ четная или нечетная и удовлетворяет условию f(ℓ–x) = f(x), то говорят, что f(x) обладает двойной симметрией.

В этом случае, если f(x) – четная, то ее коэффициенты Фурье приобретают вид:

а_2n= x ) cos dx; а_2n+1 = 0 ( n = 0,1,2,…),

b_n = 0 ( n = 0,1,2,…).

Если же f(x) – нечетная, то ее коэффициенты Фурье определяются так:

а_n = 0 ( n = 0,1,2,…),

b_2n = 0 , b_2n+1 = x ) sin dx, ( n = 0,1,2,…).