§6. Метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений

При изложении ответа на этот вопрос следует записать систему линейных алгебраических уравнений, привести ее к виду, удобному для построения итерационного процесса, записать алгоритм (вычислительную схему) метода простой итерации, доказать теорему о достаточном условии сходимости и получить оценку приближения. Кроме того, необходимо знать определение канонической нормы и уметь привести примеры норм.

Дана система линейных алгебраических уравнений

. (11)

Здесь матрица A – заданная квадратная неособенная матрица, так что система (11) имеет единственное решение, b – заданный вектор (правая часть), x – искомый вектор. Эквивалентными преобразованиями приведем систему (11) к виду x=αx+β, (12)

где α – матрица той же размерности, что и А, а β – вектор, так что решение системы (11) является решением системы (12) и, наоборот, решение системы (12) является решением системы (11).

Выберем некоторый начальный вектор x⁰ и построим итерационный процесс, который называется методом простой итерации

x^k+1= αx^k+β, k=0, 1, … (13)

Достаточное условие сходимости метода простой итерации дает следующая теорема: Процесс итерации (13) для приведенной системы (12) сходится к ее единственному решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы α меньше 1: .

Условие завершения вычислений выводится с помощью оценки погрешности k-го приближения x^k, которая имеет вид:

Поэтому для получения решения x^k системы (12) с точностью ε вычисления следует продолжать до выполнения условия .

§7. Алгебраическое интерполирование. Исследование существования и единственности интерполяционного полинома

При изложении ответа на этот вопрос следует дать математическую постановку задачи интерполирования, определения интерполяционной функции, узлов интерполяции, алгебраического интерполирования, показать линейную независимость степенных функций , доказать единственность интерполяционного полинома для данной таблицы значений функции.

Математическая постановка задачи интерполирования заключается в следующем. Пусть R - пространство действительных функций, определенных на отрезке [a,b], и {φ_i} - заданная конечная или счетная система функций из R, такая, что их любая конечная подсистема является линейно-независимой. Для данной конечной совокупности точек (x_i≠x_j при i≠j), принадлежащих отрезку [a,b], и данной функции f(x) из R найти функцию φ, являющуюся линейной комбинацией функций {φ_i}, так, чтобы в заданных точках значения f и φ совпадали. Другими словами, определить константы так, чтобы

. (14)

Функция называется интерполирующей функцией, а точки - узлами интерполяции.

Если {φ_i} являются степенями , то говорят об алгебраической интерполяции, а функцию φ(x) называют интерполяционным полиномом. При m=n для любого набора значений f(x_j) можно построить интерполяционный полином степени n и притом только один. Действительно, в этом случае определитель системы линейных алгебраических уравнений (14)

является определителем Вандермонда и отличен от нуля, так как среди узлов интерполяции нет двух совпадающих. Следовательно, решение системы (14) существует, единственно и коэффициенты интерполяционного полинома определяются однозначно.