![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки Условные варианты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •Условные эмпирические моменты
- •Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
Корреляционная таблица
При большом числе наблюдений одно и то
же значение
может встретиться
раз, одно и то же значение
-
раз, одна и та же пара чисел
может наблюдаться
раз. Поэтому данные наблюдений группируют,
т.е. подсчитывают частоты
,
.
Все сгруппированные данные записывают
в виде таблицы, которая называется
корреляционной.
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
Для определения параметров уравнения прямой линии регрессии Y на X была получена система уравнений
Для простоты записи опустим индексы
При выводе этой системы предполагалось, что значения X и соответствующие им значения Y встречались по одному разу. Если дана корреляционная таблица, то до применения системы (3а) предварительно заметим, что из раннее выведенных формул
Подставив правые части тождеств в систему (3а) получим:
Из второго уравнения
найдём
,
предварительно сократив на
,
и подставим в уравнение
,
получим
Для определения
второе уравнение
умножим на
и вычтем из первого:
Учитывая, что
, получим
Умножим обе части
равенства на дробь
Обозначим правую
часть равенства (6) через
, тогда равенство (6) примет вид
.
Откуда
. Подставив значение
в (5), окончательно получим выборочное
уравнение прямой линии регрессии Y
на X:
Если величины Y
и X независимы, то
=0; если
связаны линейной функциональной
зависимостью, то
.
Отсюда следует, что
измеряет тесноту линейной связи между
Y и X.
Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведённым в корреляционной табл.1.
Таблица 1
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При определении выборочного уравнения прямой линии регрессии основная задача сводится к определению . Для упрощения расчётов на практике переходят к условным вариантам
Составим корреляционную табл. 2 в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей
Таблица 2
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле (при этом величина не изменится)
Величины
можно найти методом произведений или
вычислить непосредственно исходя из
определений этих величин:
Для определения
найдём предварительно
и
:
тогда
Остаётся указать
способ вычисления
,
где
- частота пары условных вариант
.
Можно доказать, что справедливы формулы:
Для контроля целесообразно выполнить расчёты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.
Для вычисления составим расчётную табл. 3.
Пояснения к составлению табл.3:
В каждой клетке, в
которой частота
,
записывают в правом верхнем углу
произведение частоты
на варианту
.
Например, в правых верхних углах клеток
первой строки записаны произведения:
4
.
Складывают все числа,
помещённые в правых верхних углах клеток
одной строки и их сумму записывают в
клетку этой же строки столба
.
Например, для первой строки
Умножают варианту
на
и полученное произведение записывают
в последнюю клетку той же строки
.
Например, в первой строке таблицы
следовательно
.
Сложив все числа
столбца
,
получают сумму
,
которая равна искомой сумме
.
Например, в нашем случае
,
следовательно
Для контроля аналогичные
вычисления производят по столбцам:
произведения
записывают в левый нижний угол клетки,
содержащей частоту
;
все числа, помещённые в левых нижних
углах клеток одного столбца, складывают
и их сумму записывают в строке V;
далее умножают каждую варианту
на V
и результат записывают в клетках
последней строки.
Сложив все числа
последней строки, получают сумму
,
которая также равна
Найдём выборочный коэффициент корреляции: