§ 19. Плотность распределения

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, введем понятие плотности распределения.

Механическая интерпретация распределения вероятностей

Дискретная случайная величина: в точках x₁, x₂, ..., x_i сосредоточены массы p₁, p₂, …, p_i, причем суммы всех масс равны 1.

Н епрерывная случайная величина: масса равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазана» по оси 0х с некой плотностью (в общем случае неравномерной).

Средняя плотность на участке:

Опр. Плотностью распределения (или плотностью вероятности или просто плотностью) непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная от функции распределении в этой точке

Плотность распределения f(x) иногда называют дифференциальной функцией распределения.

Г рафик плотности распределения f(x) называется кривой распределения.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (, ) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до 

.

Док-во. Воспользуемся формулой из §18:

.

По формуле Ньютона-Лейбница:

.

Отсюда: , что и требовалось доказать.

Г еометрически. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (, ) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью 0х, прямыми x=, x= .

.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Дано: f(x) – плотность распределения.

Найти: F(x) – функцию распределения.

По определению: .

.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения – неотрицательная функция

Док-во. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, следовательно, ее производная f(x) = F’(x) – неотрицательная функция.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до + равен 1.

.

Док-во. .

Частный случай. Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу (, ), то

.

Геометрическая интерпретация свойств плотности распределения.

1. В ся кривая распределения f(x) лежит не ниже оси абсцисс.

2. Полная площадь, ограниченная кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна 1.

Механическая интерпретация.

.

вероятность попадания Х на участок , интерпретируется как масса, приходящая на участок .

средняя плотность на участке .

плотность массы в точке .

Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х.

а) найти плотность распределения f(x);

б) графики F(x) и f(x);

в) найти вероятность попадания Х в (0,25; 0,5); (0,5; 0,2).

Решение.

а)

б)

в) (1-й способ)

(2-й способ).