§18. Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины

Опр. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно (несчетно).

Примеры. 1. Расстояние от точки попадания до центра мишени.

2. Размер детали, выпускаемой на данном станке.

Для дискретной случайной величины исчерпывающей характеристикой является ряд распределения (таблица распределения).

Непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток. Значит для непрерывной случайной величины в отличии от дискретной невозможно составить таблицу распределения, в которой были бы перечислены все возможные значения.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин является функция распределения.

Опр. Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше, чем заданное x:

. (1)

Геометрически: [вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x]

F(x) – вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изобразится на числовой оси точкой, лежащей левее заданной точки x.

Функцию распределения F(x) иногда называют «интегральной функцией распределения».

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

Вытекает из определения F(x) как вероятности

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если , то .

Док-во:

Рассмотрим на оси абсцисс две точки x₁ и x_{2 ,} причем

Событие, заключающееся в том, что случайная величина X примет значение меньшее x₂ можно разбить на два несовместных события

X < x₂ : X < x₁ или x₁ X <x₂

Значит P(X<x₂)=P(X<x₁)+P( x₁X<x₂)

Тогда из (1) получаем

(2)

Поскольку вероятность всегда 0, то

, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность попадания случайной величины на заданный промежуток.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале равна

(3)

Доказательство следует из (2), где .

Следствие 2: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение равна нулю.

Док-во: (вероятность для каждого отдельного значения непрерывной случайной величины =0). В формуле (3) заменим

После: в формуле (3) заменим .

устремим

X – непрерывная случайная величина, F(x) – непрерывная функция, значит . Тогда что и требовалось доказать. Из следствий 1 и 2 получим:

(4)

Замечание. Ранее встречались с событиями, вероятность которых равна нулю. Это были невозможные события. Теперь доказали, что обладать нулевой вероятностью могут и возможные события: событие X=x, (X принимает значение x₁) возможно, а его вероятность равна нулю. Такое возможно при испытаниях, не сводящихся к схеме случаев.

Аналог: тело имеет определенную массу, но ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Вероятность попадания на сколь угодно малый участок не равна нулю, в строго определенную точку равна нулю.

3. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a, b), то

   1. F(x)=0, при x  a

   2. F(x)=1, при x  b

Док-во.

1. x₁  a

F(x₁)=P(X<x₁)=0

2. x₂ b

F(x₂)=P(X<x₂)=1

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x, то

Вывод. Функция распределения F(x) любой случайной величины есть неубывающая функция, значения которой заключены между 0 и 1, т.е.0  F(x)  1, причем F(-) = 0; F(+)=1.

Н апример:

Замечание. В некоторой литературе случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек, где она терпит излом.