Второй семестр.
Вопросы
1 КЧ в алгебраической форме, модуль и сопряжение
2 Тригонометрическая форма КЧ, формула Муавра
3 Извлечение корня из КЧ
4 Первообразная и неопределенный инт., определения и свойства
5 Теорема о подстановке и замена переменной в неопределенном инт.
6
Инт. по частям неопределенных инт.,
рекуррентная формула для
7 Инт. рациональных функций
8 Инт. биномиальных дифференциалов
9
Инт. вида
10 Инт. Вида ,
11 Инт. Вида
12 Определение и свойства определенного инт., теорема о среднем значении
13 Формула Ньютона/Лейбница
14 Теорема о дифф. по верхнему пределу
15 Замена переменной в определенном интеграле
16 Площади и объемы, ст. моменты и ЦМ криволинейной трапеции, формулы Гульдина;
17 Длина и пл. поверхности вращения, ст. моменты и ЦМ гл. кривой, формулы Гульдина;
18 Несоб. инт. 1-го и 2-го рода, признаки сх. и рсх.
19 ДУ с разделяющимися переменными и однородные 1-го порядка
20 Линейные ДУ 1-го порядка
21 ДУ Бернулли
22 ДУ в полных дифференциалах
23 ДУ допускающие интегрирующий множитель
24 Понижение порядка
25 Линейная завис. и независ. функций, определитель Вронского
26 ФСР и общее решение ЛОДУ2
27 ЛОДУ2 с пост. коэф., d>0
28 ЛОДУ2 с пост. коэф., d=0
29 ЛОДУ2 с пост. коэф., d<0
30 Общее решение ЛНДУ2
31 ЛНДУ2 с пост. коэф. и с правой частью спец. вида
32 Метод Лагранжа для ЛНДУ
Комплексные числа
1 КЧ в алгебраической форме.
2 Тригонометрическая форма КЧ
3 Извлечение корня из кч
4 Основная теорема алгебры и ее следствия
1 Кч в алгебраической форме
Опр.
КЧ наз. упорядоченная пара действительных
чисел, множ. всех КЧ обозначается через
C.
Так что
означает,
что
, где
.
Два
КЧ наз. равными,
,
если
и
.
Сумма и произведение определяются по формулам
,
КЧ
вида
отождествим с действительными числами
:
.
Обозначим
,
тогда
,
получим
алгебраическую форму КЧ:
,
,
.
Сумма и произведение в алгебраической форме имеет вид
,
,
надо как обычно раскрывать скобки
приводить подобные и помнить что
.
Деление
КЧ. Пусть
, тогда
, при этом z
наз. частным, обозначается в виде дроби
и
выч. формуле
Модуль
и сопряжение. Пусть
, модулем z
наз число
,
сопряженным к z
наз. число
2 Тригонометрическая форма кч
,
,
Равенство
в ТФ :
и
Умножение и деление в ТФ
,
Формула
Муавра
Показательная форма КЧ
положим
,
тогда всякое КЧ
можно
записать в показательной форме
3 Извлечение корня из кч
Пусть
и
,
число
наз. корнем n-ой
степени из z
если
,
при
этом пишут
.
Теорема.
Пусть
и
, тогда
ровно n
корней n-ой
степени из z,
т.е. решений уравнения
,
которые даются формулой
,
.
Квадратные корни из КЧ можно найти по формуле
Примеры
4 Основная теорема алгебры и ее следствия
Теорема
Гаусса. Всякий полином степени
с комплексными коэфф. имеет хотя бы один
корень в C.
Следствия
1) Всякий полином степени с комплексными коэфф. разл. в C целиком на лин. множители.
2) Всякий полином степени с действительными коэфф. разлагается в R на неприводимые множители не выше второй степени.
Неопределенные инт.
1. Основные понятия и определения
2 Свойства интеграла
3 Таблица основных интегралов (непосредственное инт.)
4 Теорема о подстановке
5 Замена переменной
6 Инт. по частям
7 Инт. Рациональных функций.
8
Инт. иррациональных функций 8.1
8.2
1)
p
целое, 2)(m+1)/n
целое, 3) (m+1)/n+p
целое.
8.3
9 Инт. тригон. выражений
9.1
,
9.2
,
,
,
9.3
,
,
,
9.4
1.
Основные понятия и опред. Пусть
f
опред. на
, фун. F
заданная на
наз. первообразной фун. f
если
.
Справедлива следующая
Т. Если f непр., то она имеет первообразную (без док.)
Неопределенным
инт. от f
наз. множ. всех ее первообразных и
обозначается символом
.
Вид всех первообразных можно усмотреть
из след. предложений (доказываются
дифференцированием)
(1) если F первообразная f , то F+C тоже первообразная f ;
(2) если F1 и F2 первообразные f, то F1 F2 =C
,
где F
одна из первообразных, а C=const
Зам.
Дифф. элем. фун. снова приводит к элем.
фун., однако операция инт. может привести
к не элем. фун. Пример
не
элем. фун.
2 Свойства инт.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
Лин. подстановка:
,
3 Таблица основных инт., непосредственное инт.
4
Т. о подстановке Если
,
то
5
Замена переменной Пусть
,
полагаем
и находим инт
,
по т. о подстановке
,
а
,где
обратная к
:
.
6
Инт. по частям
Пр.:
рекуррентная формула для
