Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сем2_лекции (1).doc

Скачиваний:

Добавлен:

02.09.2019

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

7 Инт. Рациональных функций.

Рациональной фун. или дробью наз. отношение двух полиномов, R=P/Q, где .

Дробь R наз. правильной если , и она наз. неправильной если .

Простейшими наз.правильные дроби вида

Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.

Правило составления суммы: знаменатель разл. на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;

Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде

суммы , где  целая часть(полином), а  правильная дробь.

 , где  простейшие дроби.

Инт. от дроби находим по формуле

8 Инт. иррациональных функций

8.1 Инт. дробно-линейных иррац.

8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов

1) p целое, 2) (m+1)/n  целое, 3) (m+1)/n+p  целое.

**8.3 Инт. кв. иррац., подстановки Эйлера

, =

9 Инт. тригон. выражений

9.1 , ;

9.2 , , , ;

9.3 , , , ;

9.4

пр. ,

Опред. интегралы

1. Опред.

2. Свойства ( лин., адд., монот.)

3. Т. о ср.знач.

4. Формула Ньютона/Лейбница.

5. Т. о дифф. по верхнему пределу

6. Замена переменной

7. Инт. по частям опред. интегралов.

1. Опр. Пусть f опред. и ограничена на отрезке ,

 разбиение , ,

 ранг разбиения,

 инт. сумма f,

 предел инт. сумм,

определенным интегралом от f по наз. число ,

если предел  , при этом f наз. инт. по Риману.

Пример

Справедлива следующая

Т. Если f опред. и ограничена на отрезке , и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на .

2. Свойства

1) Лин.

2) Адд.

3) Монот. (1) ; (2)

3. Т. о ср.знач. f непр. на  : ,

наз. ср. знач. f на .

док.

4. Формула Ньютона/Лейбница Если f инт. на , и  дифф. функция F на : F'=f , тогда .

док.

5. Т. о дифф. по верхнему пределу

Если f непр. на , а , тогда

док.

6. Замена переменной

Пусть f непр. на ,  непр. дифф. и  на ,

 ,

если   на , 

док. использовать формулу Н/Л

7. Инт. по частям опред. интегралов.

Несобственные инт.

1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.

Пр.

2 Признаки сх. и рсх.

2.1) Принцип Коши: сх 

2.2)Пусть первообразная , сх  существует

Пр.

2.3) Признак сравнения: если и сх., то сх.

2.4) Предельный признак сравнения: если и , то инт. и оба сх. или оба рсх.

2.5)Если сх., то сх. инт. ; инт. наз. абс сх.,

обратное не верно!

3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.

4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.

Приложения инт.

1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на , тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.

Т. Крив. трапеция измерима, и ее пл.

Пусть f непр. , ≥ 0 на и E соответствующий крив. сектор, тогда его пл.

пр. 1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды , , , пл. фигуры ограниченной кардиоидой.

2 Объем тел вращения, поперечные сечения

пр. объем 1) тора, 2) вокруг OX и OY, 3) эллипсоида

3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина

пр. центр масс полукруга

4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)

, ,

5 Пл. поверхности вращения гл. кривой

6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина

стат. моменты: , ;

центр масс: , ;

формулы Гульдина: , .

Пр. ЦМ полуокружности.

DУ.

0 Задачи, которые приводят к DУ

1 Основ. понятия и определения.

DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл, геометрическое толкование.

2 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.

2.1 DУ с разделяющимися переменными

2.2 Однородные DУ1

2.3 Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли

2.4 DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли

2.5 DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера, решение с помощью частных производных, решение инт. параллельно координатным прямым. Инт. множитель зависящий от x или от y

3 Существование и единственность решения ЗК для DУ1

1. Основные понятия и опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.

Т.о. DУ1 имеет вид , его записывают в виде , где непр. в области , DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где непр. в области .

Фун. наз. реш. DУ в , если

1) непр.,

2) ,

3) .

График реш. наз. инт. кривой, само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.

Пр.

Реш. DУ , график которого проходит через

: , наз. реш. ЗК с началом . ЗК записывают в виде . Семейство реш. наз. ОР в  если , т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω.

Пр. y=(2(x−c)/3)^3/2 дает ОР DУ в области y>0.

Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой.

Пример: y=0 особое решение DУ y = y^1/3

2. DУ1, решения которых сводится к интегралам

1 DУ с РП, .

2 ОDУ1, .

Уравн., приводимые к однородным .

3 ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. .

4 DУ Бернулли: ,   0 и 1, метод Бернулли.

5 Уравн. в полных дифф. Пусть , уравн. наз. в ПD в если левая часть является полным дифференциалом некоторой фун. двух переменных, т.е.  u : , тогда ОР имеет вид .

Пусть односвязная область в R² , а M и N непр. дифф. в , тогда

будет полным дифференциалом т. и т.т. когда выполнено условие Эйлера: в .

6 Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.

3. Сущ. и ед. решения DУ1.

Рассмотрим (без док) 2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ в .

1 Т. Пусть 1) непр. в и 2) ограничена в ,

 сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .

Пример: ЛDУ1 , p и q непр. на .

2 Т. Пусть

1) −прямоугольник : x − x₀  a, y−y₀  b,

2) f непр. в и значит ограничена: ,

  ИК , проходящая через и опред. в промежутке  x−x₀  h, h=min(a, b/M ), если кроме того 3) ограничена в Ω, то ИК ед.

Пр. 1) ; 2)

*********************************************************************

пропустить

DУ1, неразрешенные относительно y (схемы решений)

1. . Пусть α₀ −корень уравнения , тогда y =₀ ,

y=₀ x+c, ₀ =(y c)/x, а F((y c)/x)=0 −общий интеграл, все!

2. . Пусть ,тогда , найдем x: ,

, ; получили общий интеграл в парам. форме: , все!

Пр. .

3. . Пусть p=y ,тогда x=F(p), dy=pdx=pF(p)dp, y= pF(p)dp=(p)+c;общий интеграл: x=F(p), y= (p)+c, все!

Пр. .

4. . Пусть , тогда , dy=F_x dx+F_p dp=pdx ,

получили уравнение для x: , его решение (x, p, c)=0 вместе с y=F(x,p) дают решение исходного уравнения в парам. форме, все!

5. . Пусть p= y, тогда , ,

получили уравнение для y: M(y,p)dy+N(y,p)dp=0, его решение (y,p,c)=0 вместе с x=F(y,p) дает решение исходного уравнения, все!

Пр. xy−y+(1+( y)² )^1/2 =0, y=xy +(1+( y)² )^1/2 , y=xp +(1+p² )^1/2 ,

p=p+xp +pp(1+p² )^^1/2 , ( x +p(1+p² )^^1/2 ) p =0.

*********************************************************************

DУ2.

1. Определения. DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где f непр. в обл. .

Реш. уравн. наз. фун. : , разумеется .

ЗК заключается в отыскании решения , где , при этом  должно быть опред. в некоторой окрест. т. x₀ . ЗК записывают в виде . Два последних равенства наз. условиями Коши, т. наз. начальной.

Пусть через проходит ровно одна ИК . ОР наз. семейство решений , зависящее от двух параметров , для которого система разрешима относ. .

Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω

2 Сущ. и ед. решения.

Т. Пусть 1) f непр. в Ω, 2) огранич. в Ω ЗК в Ω имеет ед. реш.

Пр.1) , 2) , p, q  непр. на .

3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.

1) , имеем ,

2) , пусть z= y , тогда z = f(x, z ), это DУ1, решим его

z =  (x, c₁ ), теперь y = (x, c₁ ), . Пр.

3) , пусть z= y , тогда ,это DУ1, решим его z =  (y, c₁ ), теперь y = (y, c₁ ), это DУ с РП, его решение:

 dy/ (y, c₁ )=x + c₂ плюс y= , где  ( , c₁ )=0.

Пр. 1) ; 2) ; 3) .

ЛDУ

1. Опред. Пусть n≥1, ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида

, где функции непр. на [a,b]. Уравнение опред. в полосе, которая занимает (a,b) вдоль x , а y, y, … y⁽ⁿ⁻¹⁾ могут принимать любые значения.

Левую часть обозначим через , так что ЛDУ удобно записывать в виде . Уравн. наз. однородным если и неоднородным если .

Пр. 1) −ЛНDУ1, можно решить по формуле ОР,

2) −ЛОDУ2, можно понизить порядок,

3) −это знаменитое уравнение Эри, решение которого можно представить с помощью степенного ряда.

Вид ЛDУ обеспечивает однозначную разрешимость ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2 это означает, что для любого набора

x₀ (a,b), y₀ , z₀ R сущ. ед. решение y : y( x₀)= y₀ , y( x₀)= z₀ .

Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.

во всем интервале (a,b).

Введем понятие лин. завис. и незав. фун. Конечный набор функций наз. лин. завис., если сущ. числа ₁, ₂, …_m , не все =0, такие, что , если сумма =0 лишь когда все _i=0, то набор наз. лин. незав.

Т. Набор функций лин. зависим  одна из функций равна лин. комбинация других: , при некотором j.

Пр. 1) − лин. незав.

2) − лин. завис.

3) − лин. незав.

 определитель Вронского набора функций.

Т. Набор лин. зависим 

док: один из столбцов W = лин. комбинации других,

2. ЛОDУ (структура общего решения)

Рассмотрим однородное уравнения .

1. Множ. всех решений ЛОDУ образует лин. пространство: их можно складывать и умножать на числа как векторы. Это следует из линейности выражения :

2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x

док: допустим что  x₀ : , тогда столбцы в лин. зав., , рассмотрим решение ,

по теореме ед. , что противоречит лин. незав., все!

3. Пусть решения уравнения , набор

лин. независимый  .

4. Опред. ФСР ЛОDУn наз. лин. незав. набор из n его решений.

Пример − ФСР уравнения .

5. Для  ЛОDУ n−го порядка сущ. ФСР .

док: n=2, берем x₀ , y₁ – решение ЗК с началом в т. , а y₂ – решение ЗК с началом в т. , набор y₁ , y₂ – ФСР, т.к. .

6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.

док: всякая такая комбинация является решением, это следует из лин., любое решение ЗК реализуется в таком виде, это следует из того, что W(x) 0 x , все!

3. ЛОDУ2 с постоянными коэфф.

Рассмотрим уравн. , где p, q − действ. числа. Будем искать решение в виде y=exp(x) , подстановка дает кв. уравн. ²+p+q=0 , оно наз. характ. Пусть d=p²/4−q дискриминант

1) −два действ. различных корня,

y₁=exp(₁x) и y₂=exp(₂x) образуют ФСР (доказать)

 ОР y=c₁ exp(₁x)+c₂ exp(₂x) ;

2) d=0: ₁=₂=−p/2 −действ. корень крат. 2 , y₁=exp(₁x), покажем, что y₂=xexp(₁x) тоже решение:

L₂(xe^^x )=L₂(de^^x /d)=dL₂(e^^x )/d=d((² +p+q)e^^x )/d=

(2+p)e^^x +x(² +p+q)e^^x =0 при =₁ , y₁ , y₂ образуют ФСР (доказать)

 ОР y=(c₁ +c₂ x)exp(₁x) ;

3) d<0: _1,2=−p/2 ±i(−d)^1/2 = ± iβ −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения z_1,2=e⁽^^x±
i^β^)x=e^^x(cosβx±isinβx);

действ. решения y₁ =e^^x cosβx , y₂ =e^^x sinβx образуют ФСР (доказать)

 ОР y= e^^x(c₁ cosβx+c₂ sinβx).

4. ЛНDУ

Рассмотрим неоднородное уравнения .

1. Теорема. ОР ЛНDУ имеет вид , где z –ЧР ЛНDУ, а − ОР ЛОDУ .

2. Отыскание ЧР ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида

y +a y+b y = f(x), a, b R¹ ;

2.1)

 , где r крат. как корня характ. уравн.,

пр. y − y =x , y − y=x .

2.2)

 , где r крат. как корня характ. уравн

пр. y +4y=cosx , y + y=sinx .

2.3)

 , U_k, V_k полиномы степ. k=max(m, n).

2.4) Суперпозиция решений f = f₁ + f₂ , z₁ –ЧР ЛНDУ  f₁ , а z₂  f₂

 z= z₁ + z₂  f

3 Метод Лагранжа

Рассмотрим ЛНDУ2 .

ОР ЛОDУ2 y=c₁y₁+ c₂y₂ , где y₁ ,y₂ − ФСР.

Ищем решение НУ в виде

z=c₁ (x)y₁+ c₂ (x)y₂ , где c₁(x), c₂(x) подлежат определению,

дифференцируем z=c₁ y₁+c₂ y₂ + c₁ y₁ + c₂ y₂

полагаем c₁ y₁+c₂ y₂ =0, тогда z= c₁ y₁+c₂ y₂

дифференцируем еще раз z= c₁ y₁+c₂ y₂+c₁ y₁+c₂ y₂,

потребуем чтобы L₂(z)= f(x):

c₁ y₁+c₂ y₂+c₁ y₁+c₂ y₂+p(x)(c₁ y₁+c₂ y₂ )+ q(x)(c₁ y₁+ c₂ y₂ )= f(x),

 c₁ y₁+c₂ y₂ = f(x)

получили лин. систему c₁ y₁+c₂ y₂ =0, c₁ y₁+c₂ y₂ = f(x)

ее опред. W≠0, находим производные c₁ и c₂ ,

и после интегрирования функции c₁ и c₂ , а значит и z, все!

пр. .

СDУ. 1. Основные понятия и опред.

1. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида

...

где f_i i1..n непр. в области   Rⁿ⁺¹ .

Каждое уравнение НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле  уравнение вида y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y,…y⁽ⁿ^¹⁾) можно переделать в НСDУ.

Пр. y= f(x, y, y ): t=x, x₁=y, x₂=y  x₁=x₂ , x₂= f(t, x₁ ,x₂ ).

2. Решением СDУ наз. набор фун. ₁,₂,…_n , опред. на интервале

( , β) : _k(t)=f_k(t, ₁ (t), ₂ (t),… _n (t)) t( , β) k1..n

3. Удобно записывать НСDУ в векторной форме: , где

, , , решение СDУ будет векторная функция  =(₁,…_n ): (t)=f(t, (t)) t( , β)

4. ЗК для СDУ записывается в виде , , т. наз. начальной. ОР наз. семейство решений , зависящее от n констант, за счет выбора которых можно решить ЗК с началом в любой т. из Ω.

2 Сущ. и ед. решения НСDУ

Пусть 1) все фун. непр. в Ω , 2) все ЧП ограничены в Ω ,

тогда сущ. ед. решение ЗК с началом в любой т. из Ω.

3 Метод исключения

Для определенности рассмотрим систему из 2-х уравнений

Берем 1-е уравн. и дифф. его

В результате получаем систему

исключаем x₂ и получаем DУ2 относительно x₁ .

Пр.

окончание 2-го семестра

****************************************************************************

ФМП

Невырожденные поверх. 2-го порядка

эллипсоид 1)

гиперболоиды 2) 3)

конус 4)

параболоиды 5) 6)

цилиндры 7) 8) 9)

Опр. фмп. Обозначим через множ. всех упорядоченных пар действительных чисел; так что  элемент из имеет вид , .

Пусть , фун. двух переменных наз. правило , которое

ставит в соответствие опред. число , при этом наз. обл. опр. .

Пр. ; ;

Подобным образом опр. фун. трех переменных

Пр. ; ;

Предел и непр. Открытым кругом в с центром в т. и радиуса r наз. множ. всех для которых , такой круг наз. окр. т. .

Пусть , наз. предельной т. если  ее окр. содержит т. из отличную от .

Число наз. пределом в т. : если  >0

 : как только и .

Пр. , , ,

Фун. f наз. непр. в т. если она опр. в т. и

Частные производные и дифференциал

1 ЧП. Пусть  фун. 2-х переменных, частной производной (1-го порядка) f в т. по x наз. число если предел  , ЧП обозначают так , если , сходным образом вводится ЧП .

ЧП выч. по обычным правилам и формулам дифф., надо лишь учитывать что при выч. ЧП по x величина y=const, и наоборот x=const когда берется ЧП по y.

2 Дифференциал. Пусть , она наз. дифф. в т. если ее приращение ,

гл. часть лин. относительно и наз. дифференциалом и обозначается . Пр. (вычислить!)

Теорема 1(необх. условие дифф.)

дифф. в т.  непр. в т. и , .



Пр.

Теорема 2(дост. условие дифф.)

и непр. в т.  дифф. в т.

Свойства d

Приложение d

основано на соотношении :

Пр.

3 Дифференцирование сложных функций

(A) Пусть 1) дифф. в т.

2) дифф. в т. t₀

 h дифф. в т. t₀ и

(B) Пусть 1) дифф. в т.

2) дифф. в т.

 h дифф. в т. и ,

Инвариантность формы дифференциала.

Пр.

4 Повторное дифференцирование.

Опред. ЧП 2-го порядка наз. ЧП от ЧП 1-го порядка.

Пр. , оператор Лапласа u=0.

Пусть , тогда можно образовать 4 ЧП 2го порядка:

Теорема там, где они непрерывные

док. берем

= , дважды применяем формулу Лагранжа и переходим к пределу .

 если ЧП 2го порядка фун. n переменных непр., то их всего n(n+1)/2

Опред. Пусть , =

5 Производная по направлению и градиент

Пусть и ненулевой вектор(направление),

производной в т. в направлении наз. число

, если предел .

Можно считать что  орт. Положим , а

 ) производная в нуле справа.

По теореме о производной сложной функции, получим

скалярное произведение.

Вектор наз. градиентом в т. ,

  проекция градиента на .

Если орт градиента, то .

Т.о. дает направление наибольшего возрастания ,

а его длина = скорости возрастания.

6 Касательная плоскость

Опр. Пусть задана в окрестности U т. , S ее график,

и , , плоскость  , проходящая через наз. касат. к S в т. если

при условии, что .

Теорема о касат. плоскости. S имеет касат. плоскость в т.  дифф. в т. , при этом уравн.  имеет вид:

вектор , и смотрит вверх,

а уравн. нормали

Пр. .

Экстр. фун. двух переменных

Опр. Пусть опред. в открытом множ.  R² , наз. т. мин., если  из некоторой окр. т. выполняется неравенство

, при этом наз. мин. значением, если неравенство является строгим, то наз. т. строгого мин. Подобным образом опред. т. макс. и макс. значение. Экстремум объединяет мин. и макс.

Теорема. Если т. экстремума и  и ,

то

Опр. наз. стац. т. если .

Т.о. если т. гл. экстремума, то  стац. т., обратное неверно.

Пр. , (0, 0)  стац. т. но в ней нет экстремума .

Дост. условия экстр.(n=2)

Пусть 2 раза непр. дифф. в окр. стац. т. ,

положим ,

1) если , то т. экстр., мин. при и макс.

при ;

2) если , то в т. нет экстр.

3) если , то необх. дополнительное исследование

Квадратичные формы

Кв. формой в Rⁿ наз. выраж. вида ,

 матрица кв. формы q,

q наз. положительно опред. если ,

q наз. отрицательно опред. если

q наз. знакопеременной если она принимает значения как >0 так и <0.

Пр.

Обозначим через диагональные миноры матрицы A

Критерий Сильвестра определенности кв. формы:

(С1) q положительно опред.  все

(С2) q отрицательно опред.  и т.д.

Достаточные условия экстремума(n≥2)

Пусть фун. 2 раза непр. дифф. в окр. стац. т. ,

и q кв. форма с коэфф. ,

(Э1) если q положительно опред., то т. min

(Э2) если q отрицательно опред., то т. max

(Э3) если q знакопеременная, то в т. нет экстр.

Пр.

Неявные функции

1 НФ 1-й переменной. Пусть опред. в окр. V т. x₀ , она наз. неявно заданной уравнением если .

Здесь фун. двух переменных, задана в круге U с центром в т. , где . Пр. .

Теорема. Пусть 1) , непр. в U, 2) , 3) ,

тогда  непр. дифф. НФ и

2 НФ 2-х переменных

Опр. Пусть определена в окрест. V т. , она наз. неявно заданной уравнением если . Здесь фун. трех переменных , задана в шаре U с центром в т. , где . Пр. .