9

Работа № 5. ПРЯМЫЕ, КОСВЕННЫЕ И СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Цель работы – ознакомление с методами обработки результатов наблюдений при прямых, косвенных и совместных измерениях; оценка результата измерений и его погрешности при однократных и многократных измерениях.

ЗАДАНИЕ

1. Ознакомиться с лабораторным стендом и сменным модулем «Прямые, косвенные и совместные измерения», включающими объекты испытаний и вспомогательные устройства, предназначенные для выполнения лабораторной работы.

2.1. Прямые однократные измерения

Измерить напряжение на выходе резистивного делителя (по указанию преподавателя). Результат однократного измерения напряжения записать в виде

Ux = U ± ΔU,

где U показание вольтметра; ΔU – инструментальная погрешность, определяемая классом точности вольтметра.

2.2. Косвенные однократные измерения

2.2.1. Измерить ток I_x, протекающий через резистивный делитель, путем измерения напряжения на образцовом сопротивлении. Результат однократного измерения тока записать в виде

I_x = I ± ΔI,

где I – результат косвенного измерения тока, Δ I – погрешность косвенного измерения тока.

ΔI – погрешность результата измерения тока (а в 2.2.2. - мощности), которая зависит от вида используемой формулы для расчета I (в 2.2.2 - мощности) и инструментальных погрешностей средств измерений аргументов функции.

2.2.2. Измерить мощность P_mx¹, выделяемую на участке резистивного делителя с помощью цифрового вольтметра и образцового резистора известного сопротивления. Результат однократного измерения мощности записать в виде

P_mx = P_m ± ΔP_m,

где P_m – результат косвенного измерения мощности, ΔP_m – погрешность косвенного измерения мощности.

3.1. Прямые многократные измерения

Измерить несколько раз напряжение, указанное в п. 2.1, при наличии относительно больших случайных погрешностей. Обработать полученные данные и результат измерения напряжения записать в виде

Ux = ± ΔU; P = …,

где - результат прямых многократных измерений; ΔU – граница доверительного интервала погрешности результата измерения, соответствующая доверительной вероятности P. ^{* *}

3.2. Косвенные многократные измерения.

3.2.1 Измерить несколько раз аргументы при наличии относительно больших случайных погрешностей, по которым, в соответствии с п.2.2.1, определяется ток I_x, протекающий через резистивный делитель. Обработать полученные данные. Результат косвенного измерения тока записать в виде

Ix = ± ΔI; P = …,

где – результат косвенного измерения тока; ΔI – граница доверительного интервала погрешности результата измерения, соответствующая доверительной вероятности P.

3.2.2 Измерить несколько раз аргументы при наличии относительно больших случайных погрешностей, по которым, в соответствии с п.2.2.2, определяется мощность Р_mx, выделяемая на участке резистивного делителя. Обработать полученные данные. Результат косвенного измерения мощности записать в виде

, P = …,

где – результат косвенного измерения мощности; ΔP_m – граница доверительного интервала погрешности результата измерения, соответствующая доверительной вероятности P.

4. Совместные многократные измерения

4.1. Определить при наличии относительно больших случайных погрешностей статическую характеристику преобразования линейного преобразователя по указанию преподавателя в заданном диапазоне изменения входного напряжения.

4.2. Определить доверительную область для найденной зависимости при заданной доверительной вероятности P.

ОПИСАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ

РАБОТЫ

Сменный модуль, устанавливаемый на лабораторном стенде для выполнения работы № 6, включает объекты испытаний (резистивные делители, линейные и нелинейные преобразователи) и вспомогательные устройства (набор образцовых сопротивлений, генератор случайных сигналов - ГСС, двухвходовой сумматор – Σ, блок выборки и хранения – БВХ, переключатель).

Для выполнения лабораторной работы на вертикальном стенде используются: источник постоянного напряжения, цифровые вольтметры и генератор сигналов ГС прямоугольной формы.

Для проведения однократных прямых и косвенных измерений используется схема, представленная на рис 5.1, в которой применяется выбранный по указанию преподавателя резистивный делитель.

Рис.5.1. Схема проведения однократных прямых и косвенных измерений.

(пунктиром обведены элементы схемы, расположенные на модуле;

источник питания и вольтметры находятся на вертикальном стенде)

Обработка результатов однократных прямых измерений напряжения.

Объектом испытаний для прямых измерений является резистивный делитель напряжения, состоящий из нескольких последовательно соединенных резисторов, например R1, R2, R0 (указываются преподавателем); R0 – одно из образцовых сопротивлений. На вход делителя подают постоянное напряжение, контролируемое вольтметром V_к. Выходное напряжение на сумме сопротивлений R2 и R0 измеряется цифровым вольтметром; переключатель П в этом случае устанавливается в положение 1. При отсутствии случайных погрешностей результат измерения можно найти по однократному показанию вольтметра U. При проведении измерения в нормальных условиях и отсутствии влияния внешних факторов погрешность полученного результата будет определяться инструментальной погрешностью ΔU вольтметра, которую можно найти по классу точности вольтметра ( см. Введение). Результат однократного измерения следует представить в виде

Ux = U ± ΔU. (5.1)

Количество значащих цифр погрешности результата измерения ΔU должно быть не более двух. Количество цифр при записи результата измерения U должно быть таким, чтобы наименьшие разряды U и ΔU были одинаковыми. Этим правилом следует руководствоваться во всех случаях при записи результатов измерений.

Обработка результатов однократных косвенных измерений.

Результатами косвенных измерений по схеме 5.1 могут быть, например, ток, протекающий через резисторы и мощность, выделяемая на резисторах R2 и R0.

При измерении тока определяется напряжение U₀ на известном образцовом сопротивлении R0; переключатель в этом случае ставится в положение 2. Ток, протекающий через резисторы I = U₀/R0. Для такого соотношения относительная погрешность измерения тока

U₀ +  R0,

где U₀ = (U₀ / U₀)100% (значения величин определяется аналогично 5.1),  R0 указано на резисторе.

Абсолютная погрешность косвенного измерения тока I = I* /100.

Результат однократного косвенного измерения тока следует представить в виде

.

При измерении мощности, выделяемой на резисторах R1 и R2 используется известное соотношение P_m = UI. Значения U и I были определены в предыдущих опытах. Относительная погрешность измерения мощности

P = U + 

где U = (ΔU/ U)100% (из (5.1)),  определена выше.

Абсолютная погрешность косвенного измерения мощности P_m = P_m* P_m /100.

Результат измерения мощности представить в виде

P_mх = P_m ± Δ P_m.

Обработка многократных измерений

Влияние случайных погрешностей на результаты измерений исследуются путем суммирования измеряемых напряжений со случайным сигналом от ГСС. Схема, реализующая суммирование, представлена на рис. 5.2.

Рис.5.2. Схема проведения многократных прямых и косвенных измерений.

(пунктиром обведены элементы схемы, расположенные на модуле;

источник питания и вольтметры находятся на вертикальном стенде)

В схеме проведения многократных измерений (по сравнению со схемой однократных измерений, рис.5.1.) введены:

• генератор случайных сигналов ГСС с задающим генератором сигналов ГС прямоугольной формы; дисперсия выходного сигнала ГСС регулируется внутренним переключателем ( положения 1-5) и частотой задающего генегатора ГС; выходной сигнал генератора ГСС имеет нормальное распределение;

• двухвходовой сумматор , позволяющий суммировать соответствующее проводимому эксперименту напряжение с испытуемого резистивного делителя и напряжение случайного сигнала с ГСС;

• блок выборки и хранения БВХ, необходимый для получения дискретных некоррелированных значений измеряемой величины, содержащих случайные погрешности.

При исследовании влияния случайных погрешностей измерению подлежат параметры того же резистивного делителя, что и при однократных измерениях  падение напряжения на выбранном участке резистивного делителя (прямые измерения) и мощность, выделяемая на этом участке (косвенные измерения).

Обработка результатов многократных прямых измерений напряжения.

Для исследования влияния случайных погрешностей устанавливают на ГСС (по указанию преподавателя) уровень дисперсии случайной погрешности и получают n (по указанию преподавателя) значений прямых измерений выходного напряжения делителя. Каждое из измерений получают нажатием кнопки выборка на УВХ.

Далее необходимо произвести обработку полученных результатов в следующей последовательности:

а) найти среднее арифметическое отдельных результатов наблюдений

где n – число наблюдений. Принять за действительное значение измеряемой величины (результат измерения);

б) найти остаточные погрешности , убедится, что ;

в) найти оценку дисперсии случайной погрешности измерений ;

г) найти оценку дисперсии погрешности результата измерения ;

результаты измерений и вычислений свести в таблицу:

Номер измерения	Ui, В	, В	ρi ,В	S2[U] , В2	В2
1 2 … n
	=		=

д) считая, что случайные погрешности, имитируемые генератором ГСС имеют нормальный закон распределения, найти доверительное значение погрешности результата измерения по выражению

,

где t_p(f) – коэффициент распределения Стьюдента, соответствующий задаваемой доверительной вероятности P и числу степеней свободы f . В рассматриваемом случае f = n – 1; Значение P задается преподавателем. Некоторые значения коэффициента Стьюдента приведены в таблице. Отсутствующие значения можно найти линейной интерполяцией соседних значений.

Доверительная вероятность P	Коэффициент Стьюдента при числе степеней свободы f
	4	5	6	7	8	10	15	20
0,90	2,13	2,02	1,94	1,86	1,81	1,75	1,72	1,70	1,65
0,95	2,77	2,57	2,45	2,31	2,23	2,13	2,09	2,04	1,96
0,98	3,75	3,36	3,14	2,90	2,76	2,60	2,53	2,46	2,33

При числе степеней свободы более 30 можно пользоваться графой , соответствующей нормальному закону распределения.

е) результат измерения напряжения записать в виде

; P = … .

Следует иметь в виду, что этот результат будет справедлив, если инструментальной составляющей погрешности можно пренебречь по сравнению со случайной составляющей.

Обработка результатов многократных косвенных измерений мощности.

Методика определения мощности полностью совпадает с методикой при однократных измерениях.

Для исследования влияния случайных погрешностей устанавливают на ГСС (по указанию преподавателя) уровень дисперсии случайной погрешности и получают по n (по указанию преподавателя) значений прямых измерений выходного напряжения делителя в положении 1 и положении 2 переключателя П (рис.5.2). Каждое из измерений получают нажатием кнопки выборка на БВХ. В результате получится два ряда измерений напряжений U_1i и U_2i; индексы 1 и 2 соответствуют положению переключателя П, i = 1, 2, …n.

Обработка результатов каждого ряда измерения напряжений проводится аналогично указанной ранее обработке результатов многократных прямых измерений до пункта д) и заполняются таблицы, аналогичные п. г.

Результат измерения мощности при многократном косвенном измерении

, (5.2)

где - средние значение напряжений для указанных двух рядов измерений,

- среднее значение тока, текущее через сопротивление образцового резистора. Предполагается, что случайные погрешности много больше погрешности образцового сопротивления, которой в данном расчете пренебрегаем.

Определим доверительный интервал результата измерений. Из формулы полного дифференциала и формулы (5.2) следует

(5.3)

Поскольку использовался один и тот же ГСС с одинаковой дисперсией, можно определить уточненную дисперсию средних с числом степеней свободы f = 2n-2 и использовать ее в (5.3) вместо .

Результат измерения мощности следует записать в виде

, Р = …,

где k_p(f) – коэффициент Стьюдента, соответствующий числу степеней свободы f = 2n-2 и доверительной вероятности Р.

Обработка результатов многократных совместных измерений.

Объектом испытаний для совместных измерений является линейный преобразователь напряжений, установленный на лабораторном пульте. Определяется статическая характеристика преобразования и оценивается точность полученной характеристики. Схема проведения эксперимента представлена на рис. 5.3.

Рис.5.3. Схема проведения многократных совместных измерений.

(пунктиром обведены элементы схемы, расположенные на модуле;

источник питания и вольтметры находятся на вертикальном стенде)

При нахождении модели линейной зависимости на основании совместных измерений в лабораторной работе приняты следующие допущения и ограничения:

• искомая зависимость априори является линейной и, следовательно, нет необходимости доказывать адекватность получаемой модели результатам эксперимента; в этом случае наиболее эффективным является план эксперимента, при котором измерения проводятся в крайних точках заданного диапазона изменения аргумента – этим достигается необходимая точность оценки зависимости при меньшем числе измерений,

• из множества вариантов получения экспериментальной модели выбирается простейший, но позволяющий оценить погрешности получаемой модели,

• для упрощения анализа предполагается, что погрешности определения аргумента существенно меньше погрешностей измерений функции (это, в частности, достигается самой процедурой проведения эксперимента).

Выбор варианта преобразователя (1-5), диапазона изменения входного сигнала и уровня случайной погрешности указывается преподавателем.

Процедура многократных измерений аналогична описанной выше.

С учетом принятых допущений при заданном диапазоне изменения входного напряжения U_вх1 U_вх2 возможные результаты измерений выходного напряжения U_ij исследуемого линейного четырехполюсника могут быть представлены на рис. 5.4а (жирными точками), где i = 1,2 – соответственно принадлежавшие начальному или конечному значениям диапазона входных напряжений, j – порядковый номер измерений.

В озможно использование известного метода наименьших квадратов для оценки параметров линейной модели. Однако в общем случае такой путь приводит к сложному анализу точности полученной модели вследствие коррелированности коэффициентов линейной зависимости, что требует определения соответствующей корреляционной матрицы. В то же время применение ортогональных на множестве точек измерений базисных функций существенно упрощает решение задачи.

Для общности подхода, инвариантного конкретным диапазонам входных напряжений, желательно центрировать и нормировать эксперимент по оси абсцисс. Для этого начало координат переносится в точку (U_вх1 + U_вх2) /2 середины диапазона изменения аргумента и вводится переменная z с весом, равным половине диапазона изменения натурального аргумента - (U_вх1 - U_вх2) /2 , иначе вводится формальное преобразование . В новой системе координат результаты эксперимета представлены на рис. 5.4б.

Искомую зависимость можно представить а виде линейной комбинации

, (5.4)

где f₀(z) и f₁(z) – ортогональные на множетве точек определения базисные функции, т.е. функции, удовлетваряющие условию , для нашего случая f₀(z) = 1, f₁(z) = z, а b₀ и b₁ - искомые коэффициенты линейной зависимости, некоррелированные для такого представления.

Из теории МНК коэфициенты находятся по формулам

, , (5.5)

где U_i – оценка математического ожидания – среднее значение выходного напряжения в точках z = -1 (i = 1) и z = + 1 (i = 2); f₀(-1) = f₀( + 1) = 1; f₁(-1) = -1, f₁( + 1) = + 1

Пусть число испытаний в каждой точке будет одинаковым и равным n. Тогда , Результаты эксперимента с представлением средних показаны на рис. 5.4в. Отсюда на основании соотношений 5.5 конкретные в данном эксперименте реализации коэффициентов равны

, (5.6)

что соответствует очевидной их геометрической интерпретации, см. рис.5.4в.

Определенная на основании конкретного эксперимента линейная зависимость (5.4) в этом случае имеет вид

.

Определим погрешность полученной модели. Для принятого представления (5.4) линейной функции, учитывая некоррелированность коэффициентов при ортогональных базисных функциях, можно записать

,

,

где - оценка дисперсии искомой линейной зависимости как функция аргумента z, - оценки дисперсий коэффициентов модели. Из (5.6) следует

,

где - оценка диспесии средних (U₁ и U₁), - оценка дисперсии результатов прямых измерений. Поскольку в эксперименте использовался один и тот же генератор шума и число измерений в каждой точке одинаковое и равно n, оценка S²[U_ij] находится как среднее между оценками дисперсий на обоих концах диапазана измерений

с числом степеней свободы f = 2n-2

Верхняя и нижняя границы доверительной зоны для искомой зависимости определяются выражениями

,

.

При большом числе измерений (n>10) распределение доверительного интервала можно считать нормальным – отсюда находится коэффициент k_P ; так при P = 0,95 коэффициент k_P = 2.

Теперь следует вернуться к исходным натуральным аргументам, используя принятую замену U на z.

Литература

Метрология, стандартизация и сертификация : учебник для студ. высш. учеб. заведений/[Б.Я.Авдеев, В.В.Алексеев, Е.М.Антонюк и др.]; под ред В.В.Алексеева. – М. : Издательский центр «Академия», 2007. стр. 31-57.

1 Примечание. В обозначение мощности «Р» искусственно введен индекс «m» c целью отличия от также общепринятого обозначения вероятности Р.

* ^* Примечание. Для иллюстрации достоинств многократных измерений эксперименты п.п. 3.1 и 3.2 по указанию преподавателя могут быть проведены дважды: при небольшом числе измерений (5 – 7) и числе измерений 20 – 25. Число измерений и количество экспериментов задаются преподавателем.