Задача№1

Потребитель может получать питание по двум одноцепным линиям 6 кВ. По каждой из линий он может получить А=75 % мощности. Вероятность выхода из строя каждой одноцепной ВЛ 6 кВ составляет B=0,006. Какова вероятность сохранения электроснабжения данного потребителя?

Так как по одной линии передается 75%, а по второй 25% необходимй мощности для нормальной работы потребителя, отказ любой из двух линий приводит к отказу электроснабжения потребителя.

Вероятность выхода из строя хотя бы одной из двух линий составляет

q = q₁  p₂ = 0.006  (1 -0 .006) = 0.005964.

Вторая линия выходит из строя с той же вероятностью.

Вероятность отказа составляет 2 х 0.0475 = 0.012.

Вероятность сохранения рабочего состояния потребителя составит

р = 1 - 0.095 = 0.988.

Задача №2

В течение пяти суток объем электропотребления нефтепромысла (W) и число отключений в технологической системе (N) имели следующие значения:

Сутки

1 2 3 4 5

W, тыс.кВт.ч 1455 1380 1500 1390 1440

N, шт. 54 49 58 48 53

Найти коэффициент корреляции между W и N, составить уравнение регрессии между ними. Определить (если это допустимо) возможное число отключений, если план электропотребления на сутки определен W₁=1350, тыс.кВт.ч.

Сутки	W	N
1	1455	54
2	1380	49
3	1500	58
4	1390	48
5	1440	53
mx	1433	52.4
σx	49.193	4.037
	1	0.987
	0.987	1

Уравнение регрессии:

N = r_WN (_N /_W)( W - M_W) + M_N = 0.081(W-1433)+52.4

N₁₃₅₀=0.081(1350-1433)+52.4=45.677=46

Задача 1(2.2)

Потребитель может получать питание по двум одноцепным линиям 6 кВ. По каждой из линий он может получить 50 % мощности. Вероятность выхода из строя каждой одноцепной ВЛ 6 кВ составляет 0.004. Какова вероятность сохранения электроснабжения данного потребителя?

Решение:

Так как по каждой одноцепной ВЛ передается только половина мощности, необходимой для питания потребителя, отказ любой из двух ВЛ приводит к отказу электроснабжения данного потребителя.

Вероятность выхода из строя хотя бы одной из двух ВЛ составляет:

q = q₁  p₂ = 0.004  (1 - 0.004) = 0.00398;

Вторая ВЛ выходит из строя с той же вероятностью.

Вероятность отказа составляет 2 х 0.00398 = 0.00796;

Вероятность сохранения электроснабжения данного потребителя составит

р = 1 - 0.00796 = 0.992.

Задача 2 (15.2)

Потребитель питается от двух независимых источников, один из которых включен постоянно, а другой включается действием устройства автоматического ввода резерва (АВР). Вероятность безотказной работы источника в течение времени между плановыми остановками блока равна Р_{1 =} 0.95. Вероятность застать резервный источник в работоспособном состоянии в любой момент времени между плановыми остановками равна Р_{2 =} 0.97. Вероятность отказа в отключении равна Q_{1 =} 0.07 и во включении Q_{2 =} 0.02. Определить вероятность безотказной работы системы электроснабжения в течение времени между плановыми остановками с учетом возможности использования резервного источника, считая, что вероятностью его отказа за время восстановления рабочего источника можно пренебречь.

Решение:

Из условий задачи, резервирование осуществляется замещением, то есть резервные элементы включаются только после того, как будут автоматически отключены отказавшие элементы. При данном типе резервирования вероятность отказа системы определяется по формуле полной вероятности:

Q_С = Q(S|A₁ A₂)P( A₁) P( A₂)+Q(S|`A<sub>1</sub> A<sub>2</sub>)Q( A<sub>1</sub>) P( A<sub>2</sub>)+ Q(S|A<sub>1</sub> `A₂)P( A₁) Q( A₂)+ Q(S|`A<sub>1</sub> `A₂)Q( A₁) Q( A₂)

где - условная вероятность отказа системы при отсутствии отказов отключающей и включающей аппаратуры; - условная вероятность отказа системы при отказе в отключении отказавшего элемента; - условная вероятность отказа системы при отказе во включении резервного элемента; - условная вероятность отказа системы при совпадении отказа в отключении отказавшего и включении резервного элементов; P(A₁), Q(A₁) – вероятность соответственно отсутствия отказа и отказа в отключении отказавшего элемента; P(A₂), Q(A₂) – вероятность соответственно отсутствия отказа и отказа во включении резервного элемента.

Q(A₁) = 0.07; P(A₁) = 1 – 0.07 = 0.93;

Q(A₂) = 0.02; P(A₂) = 1 – 0.02 = 0.98;

Q(S|`A<sub>1</sub> A<sub>2</sub>) = 1; Q(S|A<sub>1</sub> `A₂); Q(S|`A<sub>1</sub> `A₂) = 1;

Вероятность отказа системы при отсутствии отказов аппаратуры определяется умножением вероятности отказа рабочего источника на вероятность аварийного простоя резервного:

Q(S|A₁ A₂) = (1- 0.95) (1- 0.98) = 0.05·0.02 = 0.001;

Q_С = 0.001·0.93·0.98 + 1·0.07·0.98 + 1·0.93·0.02 + 1·0.07·0.02 = 0.00091 + 0.0686 + 0.0186 + 0.0014 = 0.08951;

Искомая вероятность:

P_С = 1 – 0.08951 = 0.91049

Задача 12

(Последовательно соединенные агрегаты)

Определить вероятность отказа технологического процесса, представляющего из себя: транспортёр (p = 0,9; q = 0,1); редуктор (p = 0,92; q = 0,08) и электродвигатель (p = 0,99; q = 0,01)., в том числе написать все варианты вероятностей отказа.

Решение

P = 0,9*0,92*0,99 = 0,82

Q = 1 – P = 1 – 0,82 = 0,18 (очень большая!)

Вероятности отказов :

q(тр)*p(р)*р(эл.дв.) = 0,1*0,92*0,99 = 0.9108

p(тр)*q(р)*р(эл.дв.) = 0,9*0,08*0,99 = 0,7128

p(тр)*p(р)*q(эл.дв.) = 0,9*0,92*0,01 = 0,00828

q(тр)*q(р)*р(эл.дв.) = 0,1*0,08*0,99 = 0,00792

p(тр)*q(р)*q(эл.дв.) = 0,9*0,08*0,01 = 0,00072

q(тр)*p(р)*q(эл.дв.) = 0,1*0,92*0,01 = 0,00092

p(тр)*q(р)*q(эл.дв.) = 0,1*0,08*0,01 = 0,00008

______________

∑ = 0,18

Задача 13

(Методы математической статистики)

Найти наименьшее число испытаний, при котором β= 0,98; p = 0,88; q = 0,12; ε= 0,03

Решение

Берём таблицу интеграла Лапласа или график функции

β = Ф(х)

При β= 0,98 ά= 2,38

N = (ά **2)*p*q/(ε**2) = (2,38**2)*0,88*0,12/0,03**2 = 665

Составить и решить обратные задачи

1 – ая обратная задача

Найти статистическую вероятность β при известных ε и N. ε =0,03; N = 665

Решение

Берём таблицу интеграла Лапласа или график функции

β = Ф(х)

ά = ε*√(N/(p*q) = 0,03*√665/(0,88*0,12) = 2,38

2– ая обратная задача

Найти ε при заданных β и N.

Решение

Берём таблицу интеграла Лапласа или график функции

β = Ф(х)

При β= 0,98 ά= 2,38

ε = ά *√( p*q)/N = 2,38*√ (0,88*0,12)/665 = 0,03

Задача 1. (1.1)

Определить вероятность повреждения в системе электроснабжения компрессорной станции, если вероятности повреждения последовательно соединенных элементов сети составляют: подстанции 35/6 кВ q_п = 0.03, линии 6 кВ q_л = 0.025, электродвигателя q_э = 0.01

Решение.

Система электроснабжения представляет из себя систему из трех последовательно соединенных элементов, то есть аварийный выход из работы хотя бы одного элемента приводит к отказу системы.

Вероятности безотказной работы отдельных элементов сети составляют соответственно

р_п = 1 - q_п = 1 - 0.03 = 0.97;

р_л = 1 – q_л = 1 - 0.025 = 0.975;

р_э = 1 - q_э = 1 - 0.01 = 0.99.

Вероятность безотказной работы системы электроснабжения равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов:

р_с = 0.97 х 0.975 х 0.99 = 0.9363.

Вероятность отказа:

q_с =1 – р_с = 1 - 0.9363 = 0.0637.