2. Дифракция света

1. Радиус зоны Френеля для сферического фронта

2. Радиус зоны Френеля для плоского фронта

3. Дифракция на щели: минимум

максимум

4. Аналитическое выражение для щели

5. Решётка

6. 2d sin θ = nλ формула Вульфа - Брэгга

Примеры решения задач

Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r = 1мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ =0.5 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние b_max от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.

Решение.

Дано:

r = 1мм

λ =0.5 мкм

b_max = ?

1 способ. Формально задачу можно решить так. Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно. Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля, т.е. m = 2, но т.к. .

2 способ. Рассмотрим выражение для радиуса зон Френеля ясно, что число зон, укладывающихся в отверстии, зависит от b. Если экран вплотную придвинуть к отверстию (b = 0), то в отверстии уложатся все зоны Френеля (т.к. радиус зон равен нулю). При удалении экрана от отверстия (b растёт) число открытых зон будет уменьшаться. Зависимость интенсивности в центре экрана от b будет иметь вид, показанный на рисунке.

Последний раз минимум будет наблюдаться при b_max. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля, т.е. m = 2. Откуда

Ответ: b_max.= 1м.

Пример 2. На щель шириной а = 0.1мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ = 0.6мкм). Определить ширину ℓ центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L = 1м.

Решение

Дано:

L = 1м

а = 0.1мм

λ = 0.6мкм

ℓ = ?

Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности можно принять равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности.

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием , где k — порядок минимума (k = 1). Из рисунка видно, что Откуда . Но . При малых углах поэтому ,

Ответ: ℓ = 1.2см.

Пример 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны λ = 0.5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L = 1м. Расстояние ℓ между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20.2см. Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число n штрихов на 1см; 3) число максимумов N, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φ_mах отклонения лучей, с соответствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение .

Дано:

λ = 0.5мкм

L = 1м

ℓ = 20.2см

d = ?

n = ?

N = ?

φ_mах = ?

Обратите внимание на входную щель перед решёткой. Без этой щели решётка даст равномерно освещённый экран, спектра не будет. Эта щель ограничивает сечение падающего пучка света. По сути наблюдаемые максимумы – это изображения этой входной щели ( без входной щели можно получить спектр если падающий пучок сам по себе мал по сечению (например, луч лазера).

Из рисунка видно, что , но .

Общее число максимумов, даваемых решёткой, будет N = 2k_max + 1. Величину k_max можно определить из условия d·sin φ = kλ, если учесть, что для спектра максимального порядка угол φ ≤ 90°. Примем φ = 90°→ sin φ = 1. Следовательно . В данном случае . Здесь, однако, нужно иметь в виду следующее. k_max – целое число, а может быть любым и нецелым числом. В любом случае k_max равно ближайшему целому меньшему, чем числу. Даже если целое число k_max = (  – 1), т.е. ближайшее целое меньшее число. k_max ≠ . Здесь учтено, что k_max = получено из условия φ = 90°, но при этом луч после решётки идёт параллельно экрану и на него не попадает, а поэтому и не даёт дифракционного максимума. N = 2k +1 = 19. Угол φ_max найдём из условия d·sin φ_max = k_maxλ. Подставляя значения, получаем φ_max = arc sin 0.909 = 65.3675°.

Ответ: d = 4.95мкм, n = 2020штр/см, N = 19, φ_max = 65.3675°.

Пример 4. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ = 600нм нормально падает на непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром D = 1.2мм. На расстоянии b = 18см за экраном на оси отверстия наблюдается темное пятно. На какое минимальное расстояние ∆b нужно сместиться от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины вновь наблюдалось темное пятно?