6. Теория атома водорода по Бору

• - условие квантования момента импульса электрона в атоме

• - модель атома Бора

• - скорость электрона на орбите

• - радиус орбиты электрона в атоме

• первый Боровский радиус

• - скорость электрона на орбите с номером n

• - кинетическая энергия электрона в атоме

• - потенциальная энергия электрона в атоме

• - полная энергия электрона в атоме

• - энергия ионизации атома водорода

• - радиус n-ой орбиты

• - энергия n-го уровня

• - сериальная формула постоянная Ридберга

• - сериальная формула для частоты

= R·c = 3.29·10¹⁵c^-1

• и

Примеры решения задач

Пример1. Атомарный водород, возбуждённый светом определённой длины волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии (k = 3). Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они принадлежат.

Решение

Дано:

k = 3 Рассмотрим диаграмму энергетических уровней

λ₁ = ? атома водорода и возможные переходы между ними.

λ₂ = ?

λ ₃ = ?

Из диаграммы ясно, что если электрон в атоме перевести с 1-го уровня на 2-ой, при возвращении в основное состояние (на уровень 1) возможен только один переход 2-1 и в спектре появится только одна линия. С третьего уровня возможны переходы 3-1, 3-2, 2-1 (появляются три линии в спектре). С четвёртого уровня возможны переходы 4-3, 4-2, 4-1, 3-2, 3-1, 2-1 (появится 6 линий в спектре). Ясно, что условию задачи отвечают переходы с третьего уровня, т.е. переходы 3-1, 3-2, 2-1 . Подставляя эти значения квантовых чисел в сериальную формулу , получаем ( ):

121.54нм – серия Лаймана

– серия Лаймана

– серия Бальмера

Ответ: 121.54нм, ,

Пример 2. Электроны в атомах водорода, возбуждаются светом. Возвращаясь в основное состояние атомы испускают только три спектральные линии (k = 3). Указать, в каких пределах должна при этом находиться длина волны возбуждающего света.

Решение

Д ано:

k = 3

?

Воспользуемся результатом решения примера 1. Для того, чтобы наблюдалось три линии необходимо перевести электрон в атоме с 1-го уровня (невозбуждённое состояние) на 3-й. При этом, однако, он не должен попасть на 4-й уровень. Из приведённой диаграммы ясно, что для этого энергия бомбардирующих фотонов E_ф должна быть в пределах

E₃ – E₁≤ E_ф < E₄ – E₁.

Но , откуда E₃ – E₁≤ < E₄ – E₁. → ≤ λ < .

Здесь обозначено и .

Энергию можно найти, воспользовавшись формулой (эВ).

– 13.6∙ →

= – 13.6∙ →

Окончательно 97.35294нм ≤ λ < 102.675986нм

Ответ: 97.353нм ≤ λ < 102.676нм.

Пример 3. Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней.

Решение

Дано:

n = 1

r₁ = ?

v₁ = ?

Рассмотрим планетарную модель атома

Приравнивая центростремительную силу, действующую на электрон в атоме, силе кулоновского притяжения, получаем:

.

Учитывая условие квантования момента импульса электрона в атоме

, n = 1, 2, 3, …

и решая эту систему из двух уравнений, получаем выражения для радиуса орбит электрона в атоме и значение его скорости:

.

Подставив это в предыдущие уравнения, получаем выражения для r и V:

,

.

Для Z = 1 и n = 1 (первая орбита в атоме водорода) получаем:

первый Боровский радиус

- радиус орбиты электрона в атоме

- скорость электрона на орбите с номером n

П одставляя в эти формулы значения n = 1

=8.85∙10^-12

=1.05458∙10^-34

получаем , v₁ = 2.2∙10⁶м/с.

Ответ: , v₁ = 2.2∙10⁶м/с.

Пример 4. Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.