Лабораторная работа №1 исследование пассивных rc-фильтров

Цели работы – изучение свойств RC-фильтров низких и высоких частот, а также полосовых фильтров, приобретение навыков работы с генератором сигналов специальной формы и цифровым осциллографом.

1.1. Основные теоретические сведения

Простейшими элементами электронных схем являются двухполюсники. Различают пассивные и активные двухполюсники. Активные двухполюсники являются источниками энергии, например, источники тока и напряжения. Вольтамперная характеристика пассивного двухполюсника всегда проходит через начало координат вольтамперной характеристики. Пассивные двухполюсники бывают линейными и нелинейными. Примером нелинейного двухполюсника является полупроводниковый диод. Резисторы, конденсаторы и индуктивности относятся к линейным двухполюсникам – их вольтамперные характеристики представляют собой прямую линию, рис. 1.1.

Рис. 1.1. Вольтамперные характеристики линейных двухполюсников

Вольтамперная характеристика не отражает фазовых соотношений между током и напряжением на двухполюснике. Кроме этого из приведенных линейных зависимостей видно, что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты. Зависимость фазы и модуля полного сопротивления электрическому току Z рассматриваемых двухполюсников от угловой частоты ω прикладываемого синусоидального напряжения приведены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Зависимость модуля импеданса Z, фазового сдвига φ между током и

напряжением, векторная диаграмма Френеля и осциллограммы тока

и напряжения на резисторе (а), индуктивности (б) и конденсаторе (в)

Если собрать делитель напряжения из пары пассивных двухполюсников разного типа, например из резистора и конденсатора, то возникает цепь, попадающая под понятие пассивный четырехполюсник, рис. 1.3.

Очевидно, что выходное напряжение U₂(t) на рис. 1.3 а) и б) должно зависеть от частоты входного напряжения U₁(t) в результате изменения емкостного сопротивления конденсатора. Фаза выходного напряжения при изменении частоты также не останется неизменной, т. к. вклад в полное сопротивление цепи со стороны компонента (конденсатора), у которого имеется фазовый сдвиг между током и напряжением будет разным для разных частот.

Рис. 1.3. Четырехполюсники: фильтр нижних частот (а), фильтр верхних

частот (б) и обобщенное изображение четырехполюсника (в)

Итак, если на входе условного четырехполюсника действует гармонический сигнал с зависимой от частоты фазой:

,

то в результате линейности элементов, образующих четырехполюсник, выходной сигнал останется синусоидальным, но будет иметь другую амплитуду и дополнительный, зависимый от частоты, фазовый сдвиг:

.

Комплексная передаточная функция, учитывающая амплитудные и фазовые соотношения между входным и выходным сигналами, имеет вид:

(1.1)

Данная функция всегда может быть приведена к виду:

, (1.2)

где K(ω) – модуль комплексного числа.

K(ω) является коэффициентом передачи четырехполюсника по напряжению и представляет собой частотную зависимость отношения амплитуд U_m2 к U_m1. Эта зависимость называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость фазового сдвига выходного сигнала от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника.

Из правил перемножения экспоненциальных зависимостей вытекают два важных свойства последовательных соединений двух и более четырехполюсников – результирующая АЧХ является результатом перемножения АЧХ отдельных четырехполюсников, а результирующая ФЧХ образуется сложением ФЧХ последовательных четырехполюсников:

K(ω) = K₁(ω) · K₂(ω) · K₃(ω)…. · K_n(ω); (1.3)

φ(ω) = φ₁(ω) + φ₂(ω) + φ₃(ω)…. + φ_n(ω).

Вместо экспоненциальной формы записи выражение (1.2) может быть представлено в другой, известной форме:

, (1.4)

где А и В – вещественная и мнимая части комплексного числа.

Модуль передаточной функции четырехполюсника, записанной в форме (1.4) также как и для формы записи (1.2) является коэффициентом передачи по напряжению K(ω):

. (1.5)

Зависимый от частоты фазовый сдвиг φ(ω) или ФЧХ, вычисляется из (1.4) по формуле:

(1.6)

Для того, чтобы далее производить расчеты фильтров, вспомним основные правила действий с комплексными числами:

j2 = ­­-1; если дано z = a + jb, то сопряженное ему комплексное число z٭равно: z٭ = a – jb; если z1= a1 + jb1 и z2 = a2 + jb2, то z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2); z1 · z2 = (a1 a2 – b1b2) + j(a1b2 + a2 b1); Для получения отношения z1 / z2 в форме a + jb достаточно умножить числитель и знаменатель на z2٭.

Рассмотрим пример расчета АЧХ и ФЧХ простейшего RC-фильтра нижних частот, рис. 1.3 а). Данный фильтр является делителем напряжения, к которому не подключена никакая нагрузка. Такой делитель называют идеальным делителем напряжения (ИДН). Выходное напряжение представляет собой в данном ИДН падение напряжения на конденсаторе С и поэтому зависит от частоты.

Согласно закону Ома, ток в данной цепи равен: , где - полное сопротивление (импеданс) цепи для входного синусоидального напряжения:

.

Выходное напряжение равно произведению тока на емкостное сопротивление:

. (1.7)

С учетом (1.7) комплексная передаточная функция рассматриваемого фильтра примет вид:

. (1.8)

Известно, что произведение RC имеет размерность времени. Тогда 1/RC имеет размерность угловой частоты с^-1. Обозначим и подставим в формулу (1.8):

. (1.9)

Для устранения мнимого числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число ( ):

. (1.10)

Из (1.10) можно найти АЧХ, как модуль данного выражения по формуле (1.5) и ФЧХ, как арктангенс отношения аргументов мнимой и вещественной частей по формуле (1.6):

АЧХ: (1.11)

ФЧХ: (1.12)

Графическое представление полученных амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик дано на рис. 1.4 и 1.5.

Рис. 1.4. АЧХ однозвенного RC-фильтра нижних частот

Рис. 1.5. ФЧХ однозвенного RC-фильтра нижних частот

Угловая частота при которой коэффициент передачи по напряжению уменьшается в раз (уровень 0,707) по сравнению с максимальным значением коэффициента передачи фильтра, называется граничной частотой или частотой среза ω_гр. В данном конкретном случае .

Итак, фильтр нижних частот (ФНЧ) пропускает только низкочастотные сигналы, обычно от постоянной составляющей до частоты среза, а ФВЧ, напротив, подавляет в спектре сигнала все частоты от нуля до частоты среза, а пропускает частоты выше частоты среза. Аналогично приведенному выше примеру расчета однозвенного фильтра нижних частот могут быть рассчитаны АЧХ и ФЧХ фильтра верхних частот (ФВЧ), рис. 1.3 б). Вывод выражений АЧХ и ФЧХ для ФВЧ предлагается выполнить самостоятельно.

В отличие от теоретической электротехники и математики, в практической схемотехнике угловую частоту ω, обозначающую угловую скорость вращения вектора (рад/c), заменяют на частоту вращения вектора f, выраженную в Гц (1Гц = 1оборот/c). Связь между ω, f и периодом вращения вектора Т устанавливается следующими простыми выражениями:

.

Шкала частот ω или f в графическом изображении АЧХ и ФЧХ фильтров практически всегда приводится в логарифмическом масштабе, т.е. через равные интервалы откладываются частоты …0,1; 1; 10; 100 и т.д., Гц, либо …0,01 f₀, 0,1 f₀, 1 f₀, 10 f₀, 100 f₀…, где f₀ – частота среза для ФНЧ и ФВЧ или центральная частота для полосового фильтра.

Масштаб шкалы коэффициента передачи фильтра K(ω) или K(f) может быть установлен в децибелах (дБ):

,

где, U₂ и U₁, соответственно, выходное и входное напряжения четырехполюсника для выбранной частоты ω или f.

Результирующий коэффициент передачи K(ω)_дБ для каскадного включения четырехполюсников, в отличие от выражения (1.3) представляется суммой K_i(ω)_дБ отдельных четырехполюсников. Уровень , для которого устанавливаются граничные частоты фильтров (частота среза), соответствует в этом случае – 3 дБ по отношению к максимуму K(ω)_дБ.

Форма представления АЧХ с логарифмическим масштабом по шкале частот и с коэффициентом передачи, выраженным в дБ, называется диаграммой Боде. Рис. 1.6 иллюстрирует изображение характеристик ФНЧ в представлении Боде. Как видно из рис. 1.6, логарифмический масштаб дает линейный спад (затухание) коэффициента передачи ФНЧ на частотах более f₀. Крутизна этого затухания составляет для однозвенного фильтра 20 дБ на декаду. Изменение частоты на одну декаду соответствует ее изменению в 10 раз.

Рис. 1.6. АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот в представлении Бодэ

Как видно из приведенных графиков, однозвенный фильтр имеет достаточно пологие склоны АЧХ. Крутизна склонов может быть увеличена за счет применения каскадного включения однозвенных фильтров, рис. 1.7.

В приведенном трехзвенном фильтре верхних частот, рис. 1.7 а), только последнее звено представляет собой ИДН, потому, что к нему не подключена никакая нагрузка. В первом и втором звеньях делители напряжения не идеальны, так как их выходы шунтируются входами последующих звеньев. По этой причине при каскадном соединении фильтров выражение (1.3) выполняется не совсем строго. Если бы фильтр, изображенный на рис. 1.7 а), содержал бы всего одно звено, то расчет его передаточной функции дал бы следующий результат:

(фильтр первого порядка),

где .

Рис. 1.7. Каскадное включение трех однозвенных фильтров: а) трехзвенный ФВЧ; б) трехзвенный ФНЧ

Подключение второго звена привело бы к следующей, более сложной, передаточной функции (фильтр второго порядка):

.

Наконец, присоединение третьего звена приводит к передаточной функции трехзвенного фильтра (фильтр третьего порядка):

.

О порядке фильтра говорит показатель степени отношения в выражении его передаточной функции. Чем больше порядок фильтра, тем круче склоны его АЧХ: 40 дБ на декаду для фильтра второго порядка и 60 дБ на декаду для фильтра третьего порядка, что дает ослабление сигнала при десятикратном изменении частоты в 100 и в 1000 раз, соответственно.

Если сравнить модули полученных трех выражений, то можно увидеть, что и . Данный пример позволяет сделать очень важный вывод о том, что результирующий коэффициент передачи каскадного включения нескольких четырехполюсников равен произведению коэффициентов передачи отдельных четырехполюсников по формуле (1.3) только в том случае, когда четырехполюсники не оказывают взаимного влияния на их входные и выходные параметры. Данный вывод применим не только к фильтрам, но и к усилительным каскадам.

Комбинации фильтров нижних и верхних частот позволяют создавать полосовые фильтры, с помощью которых из всего спектра частот пропускается только определенная область частот (полоса). Схемы простейших пассивных полосовых фильтров приведены на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Простейшие полосовые фильтры: а) RC-CR фильтр; б) фильтр Вина

АЧХ полосового фильтра характеризуется центральной частотой пропускания f₀, верхней и нижней граничными частотами пропускания f_в и f_н, соответственно, рис. 1.9.

Можно показать, что центральная частота для обоих фильтров, приведенных на рис. 1.8 равна:

.

Вывод выражений для АЧХ и ФЧХ полосовых фильтров предлагается сделать самостоятельно. Для самопроверки приведем лишь выраже-

Рис. 1.9. АЧХ и ФЧХ фильтра Вина