2.1.3 Уравнения Лагранжа для консервативных и диссипативных

систем

Система называется консервативной, если она является склерономной, на нее действуют только потенциальные силы и потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Полная энергия консервативной системы E, представляющая сумму кинетической T и потенциальной П, не изменяется при движении системы:

E = T + П =const (2.1.8)

Для таких систем зависимость (2.1.5) между обобщенными силами и потенциальной энергией имеет вид

. (2.1.9)

Дифференциальное уравнение движения консервативной системы в обобщенных координатах может быть получено на основе уравнения Лагранжа второго рода [1,6] :

. (2.1.10)

Если на систему помимо потенциальных сил, определяемых потенциалом П, действуют еще непотенциальные силы

, (2.1.11)

то в этом случае [6]

. (2.1.12)

Непотенциальные силы называются диссипативными, если производная от полной энергии по времени отрицательна или равна нулю:

. (2.1.13)

В этом случае полная энергия системы убывает во время движения, и поэтому система называется диссипативной. Уравнение Лагранжа второго рода для такой системы имеет вид [1,6]:

. (2.1.14)

2.2 Представление кинетической и потенциальной энергий

Получим выражения для кинетической и потенциальной энергий консервативной системы, совершающей малые свободные колебания относительно положения устойчивого равновесия [1,6]. Кинетическая энергия системы в декартовой системе координат может быть записана в виде:

, (2.2.1)

где m_i - масса i-й точки.

Дифференцируя равенства (2.1.3) по времени, получим компоненты скоростей i-й массы m_i в выражении (2.2.1) как функции скоростей обобщенных координат :

, , , (2.2.2)

Подставляя (2.2.2) в (2.2.1), получим

. (2.2.3)

После возведения в квадрат выражений, стоящих в круглых скобках, и изменения порядка суммирования формулу (2.2.3) можно представить в виде:

(2.2.4)

где .

Смысл введенных коэффициентов , обладающих свойством симметрии , понятен из приведенных формул (2.2.4). Рассматривая эти коэффициенты как функции обобщенных координат , разложим их в многомерный ряд Тейлора относительно устойчивого положения равновесия :

. (2.2.5)

При малых колебаниях около положения устойчивого равновесия в разложении (2.2.5) можно ограничиться только первым слагаемым и считать константами

(2.2.6)

В этом случае выражение для кинетической энергии (2.2.4) можно представить в виде

. (2.2.7)

Таким образом, кинетическая энергия системы с КЧСС при малых колебаниях около положения устойчивого равновесия представляет определенно положительную квадратичную форму от обобщенных скоростей, поскольку в выражении (2.2.1) все слагаемые в сумме больше или равны нулю. В выражении (2.2.7) коэффициенты называются инерционными коэффициентами, которые образуют симметричную матрицу масс размерностью и имеют смысл массы или моментов инерции. В матричной форме выражение кинетической энергии (2.2.7) можно представить в виде

(2.2.8)

Получим выражения для потенциальной энергии, которая для консервативной системы зависит от вектора обобщенных координат [1,6]. Для этого разложим потенциальную энергию системы в ряд Тейлора по степеням в окрестности равновесного состояния . При малых колебаниях в этом разложении можно ограничиться членами второго порядка малости :

. (2.2.9)

В силу отношений (2.1.22), (2.1.23) первые два слагаемых в (2.2.9) равны нулю, и разложение начинается с третьего слагаемого

, (2.2.10)

где - коэффициенты жесткости, обладающие свойством симметрии и образующие матрицу жесткости C.

Потенциальная энергия представляет положительно определенную квадратичную форму обобщенных координат, которую можно представить в матричной форме

(2.2.11)