Имитационное моделирование экономических процессов

Далее введем вероятность того, что запрос на вьщеление эле­ мента г-го ресурса поступил от^-го процесса:

1^Л, ^\1 S,Xri

Размер группы заявок к ресурсу / от модуляу равен n^j = п.R^.. Средний размер группы, поступающей в одну очередь, равен:

откуда можно получить квадрат коэффициента вариации для потока транзактов, поступающих в /-ю очередь:

Составляющая интервала активности t^p = t^^ +1^^ + tjj+1^ - tj-j может быть разбита на два слагаемых: интервал пребьшания в оче­ реди из-за отсутствия элементов ресурса г^'/ и интервал времени

t^*}, начавшийся в момент вьщеления элемента /-го ресурса j-щ модулю и заканчивающийся в момент возвращения в общий набор: 4j^ =4f """^«У ^^^' ^-^О'^' Предположим, что известна вероятность ненулевой задержки в очереди р/ (в режиме перегрузок) и среднее значение /c/ = V ^ V - ^ ° правилу расчетов для объединения про­ цессов с учетом формул диффузной аппроксимации получим сред­ нее время обслуживания очереди:

Допустим, что известна средняя задержка в очереди к ресурсу /,/. Тогда можно аппроксимировать функцию распределения времени пребьшания в очереди hq,{f) выражением

51

Такая аппроксимация позволяет получать дисперсии dq^ с по­ грешностью, находящейся в пределах 15 % даже при эрланговских потоках и постоянных временах обслуживания. Однако при пере­ грузках (при значениях рД существенно больших О и близких к 1) это выражение становится практически точным, и можно показать, что распределение числа заявок в очереди при перегрузке - экспо­ ненциальное. Поэтому дисперсия времени пребывания в очереди равна

а средняя длительность задержки в очереди определяется из соот­ ношения, получаемого при аппроксимации процесса изменения дли­ ны очереди при перегрузках процессом диффузии,

t Jsb.

Дисперсии величин d^f и d^j' связаны очевидным соотношени­ ем: d^^qf^dsij, так как t^ - константа. По определению второго мо­ мента с. использованием правила получения дисперсии объединен- «ого процесса получим дисперсию

Далее уточняем величину загрузки элемента р„ которую считали заданной при начале итерации, ррЯ-^^и и определяем квадрат коэф­ фициента вариации длительности обслуживания c^j = d„/t^. При расчете на худший случай, естествейно, нас беспокоит задержка в очереди при значениях р,, приближающихся к единице, т.е. в режи­ ме перегрузки.

По поводу методических погрешностей, возникающих в данной сетевой модели, можно отметить следующее. Дж. Кингман доказал справедливость использования процесса диффузии для анализа ре­ жима перегрузки. X. Кобаяши попытался эвристически применить формулы, характеризующие решение задачи математической физики «процесс диффузий с отражающим экраном при наличии течения», к расчету параметров стохастических сетей при режимах, далеких от перегрузки, и получил результаты, очень близ^со совпадающие с

52

результатами статистического моделирования. Е. Геленбе доказал, что применение формул диффузного процесса при расчете средней

длины очереди дает погрешность, приблизительно равную е,= с^, /2 ,

где Cg,- квадрат коэффициента вариации длительности обслужива­ ния, т.е. эти формулы дают результаты с удовлетворительной по­ грешностью. Формула для оценки р,, характерная для больших зна­ чений р, (обьино при 0,5 ^ р, < 1), имеет следующий вид:

2(1-Р,) ]

р, =ехр-

+ Р<^а

Благодаря стационарности потока возвращаемых элементов ре­ сурсов интервал 4? в среднем начинается на середине отрезка, со­ стоящего из Rij -1 интервалов вьщеления запрошенных элементов. Поэтому среднее время ожидания R,j запрошенных элементов

i

Вероятность того, что величина tvy^ отлична от нуля, равна

Pv,j=sign{R,j} i-a-p'f

Функцию распределения времени ожидания вьщеления всех элементов /-го ресурса;-му процессу представим в виде

А,(0 = 1-Р, ехр - - ^ г

L V)/ J

Погрешность при такой аппроксимации также невелика из-за на­ личия перегрузки и суперпозиции потоков заявок, проходящих через каждую очередь.

Нас интересует функция распределения Щ1) задержки процессау:

тах{4?)-

Обозначим F,j{ty=\-h,j{t). Тогда справедливы следующие соот­ ношения.

1. При М=\ и индексе /-1 имеет место формула

53

Hjif)=\-F,ff).

Далее используем определение функции распределения для

2. При М=2 и индексах /=1,2 справедливо равенство

щ(г\-[РхМУ^Ргт^Ру{тр).

3. При А^З и индексах /=1,2,3 получаем выражение

-Fxj(t)F2jit)F,jit).

4. При произвольном М используем метод полной математиче­ ской индукции и получаем следующее выражение H/t) для любых

Mkl:

Причем существуют М ограничений на вспомогательные пере­ менные /„:

•1^/„^Л/прил=1;

•i,^\+\<.i„<M щт « = 2,3,... ,М-

Эти ограничения влияют на количество знаков 2 в фигурных скобках.

Используя Hj{t) и определения математического ожидания и дисперсии, применяя метод полной математической индукции, по­ лучим среднее время ожидания всех ресурсов t^ и его дисперсию с/ц,:

где дня разгрузки формул введены вспомогательные переменные

54

Уточнив значения, известные в начале итерации с какой-то по­ грешностью, итерацию можно повторить, пока процесс не сойдется к результатам с приемлемой точностью. Таким образом, методом последовательных приближений можно получить интересующие нас параметры интервала активности. Расчеты выполняются метод(ш последовательных приближений с использованием рекурсивной функции, написанной на языке C++.

Предлагаемый аппарат описания процессов в узлах стохастиче­ ской сети распространяется на другую предметную область, более широкую по сравнению с классическими моделями*. Предложенные выше формулы предназначены только для предварительных оценок средних величин в установившемся режиме. Они не пригодны для расчетов в режиме переходного процесса: сложный переходный процесс обычно изучается с помощью имитационной модели.

Однако рассмотренные выше временные диаграммы обладают высокой универсальностью. С точки зрения Computer Science они полностью совпадают с временными диаграммами совокупности параллельных вычислительных процессов, взаимодействующих через общие ресурсы в памяти компьютера. Поэтому они составили идеологическую основу рассматриваемой далее системы Pilgrim.

Вы в о д ы

1.Основные составляющие технологии имитационного модели­ рования:

•структурный анализ сложного процесса;

•формализованное описание модели;

•построение модели;

•проведение экстремального эксперимента.

2. Метод статистических испытаний (Монте-Карло), основанный на использовании датчиков псевдослучайных величин при много­ численных реализациях вариантов поведения сложной экономиче-

Клейнрок Л. Коммуникационные сети. Стохастические потоки и задержки сообщений. - М.: Наука, 1970. - 255 с.

55

ской системы (или сложного процесса) и аппарата проверки стати­ стических гипотез, полезен для предварительного анализа последст­ вий принимаемых решений. Являясь бесспорно мощным средством при исследовании систем, этот метод вынуждает разрабатывать мо­ делирующую программу. Такое обстоятельство не позволяет приме­ нять в чистом виде метод Монте-Карло для решения экономических задач. С учетом отмеченных особенностей данный метод включается в состав многих моделирующих систем, но только для статистиче­ ских испытаний с возможностью проверки гипотез.

3.Для реализации имитационных моделей экономических про­ цессов необходимы датчики псевдослучайных величин и соответст­ вующие моделирующие функции. Обобщенное распределение Эрланга и треугольное распределение дают возможность проведения экспресс-оценок причин и следствий возникновения групповых по­ токов, резких увеличений случайных задержек: в очередях, при по­ лучении ресурсов, при осуществлении денежных операций (плате­ жей).

4.Нетрадиционная модель стохастической сети, где потоки транзактов нестационарны (стационарность можно наблюдать в отношении процессов восстановления ресурсов), неординарны (транзакт может породить группу транзактов) и есть последействие (процессы в узлах сети взаимозависимы через ресурсы), дает форму­ лы, которые можно применить для приближенного расчета средних значений. Но временные диаграммы этой модели справедливы и во время переходных режимов, и при взаимном опосредованном влия­ нии процессов в узлах сети через общие параметры; поэтому их можно взять за основу при создании системы имитационного моде­ лирования.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое имитационное моделирование?

2.Зачем нужна имитационная модель?

3.Какова роль структурного анализа при проведении имитацион­ ного моделирования?

4.Для чего применяется имитационное моделирование экономиче­ ских процессов?

5.Является ли метод Монте-Карло в сочетании с проверкой стати­ стических гипотез имитационньа! моделированием?

56

КОНЦЕПЦИЯ И ВОЗМОЖНОСТИ ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ МОДЕЛИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

2.1 ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ МОДЕЛИ

Моделирующая система выполняет следующие основные фушощи:

1) предоставляет разработчику средства для формализованного описания дискретных компонентов, дисщюпин выполнения различ­ ных работ, для задания структуры графа и привязки объектов моде­ ли к координатной сетке общего информационного поля;

2) осуществляет координацию событий, определение путей прохождения транзактов, изменение состояний узлов и передачу управления моделям непрерывных компонентов.

Такая система позволяет передавать результаты моделирования, используемые для принятия управленческих решений, из модели в базы данных экономической информационной системы (например, через интерфейс ODBC - Open Data Base Connectivity, если модели­ рование проводится в среде Windows) либо «подкачивать» актуали­ зируемые во времени параметры в модель из баз данных.

В рассмотренной на рис. 1.10,6 временной диаграмме длитель­ ность выполнения функции процессом t^ не зависит от типов ре­ сурсов и характера их использования. Диаграмма обладает универ­ сальностью, позволяет работать и с опосредованными ресурсами. Эта диаграмма использована при создании теоретических основ, концепции и алгоритмов специального программного инструмента­ рия - объектно-ориентированной системы имитационного модели­ рования Pilgrim, имеющей возможность агрегирования экономиче­ ских объектов. Аналогичные диаграммы автоматически получаются при управлении модельным временем.

58

Существуют шесть основных понятий, на которых базируется концепция моделирующей системы.

1 .Граф модели. Все процессы, независимо от количества уров­ ней структурного анализа, объединяются в виде направленного гра­ фа. Пример изображения модели в виде многослойного иерархиче­ ского графа, полученного при структурном анализе процесса, пока­ зан на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Многослойный граф

2.Транзакт - это формальный запрос на какое-либо обслужива­ ние. Транзакт в отличие от обычных заявок, которые рассматрива­ ются при анализе моделей массового обслуживания, имеет набор динамически изменяющихся особых свойств и параметров. Пути миграции транзактов по графу стохастической сети определяются логикой функционирования компонентов модели в узлах сети.

59

Транзакт является динамической единицей любой модели, рабо­ тающей под управлением имитатора.

Транзакт может вьшолнять следующие действия:

•порождать группы (семейства) других транзактов;

•поглощать другие транзакты конкретного семейства;

•захватьшать ресурсы и использовать их некоторое время, а за­ тем - освобождать;

•определять времена обслуживания, накапливать информацию

опройденном пути и иметь информацию о своем дальнейшем пути и

опутях других транзактов.

Основные параметры транзактов:

•уникальный идентификатор транзакта;

•идентификатор (номер) семейства, к которому принадлежит транзакт;

•наборы различных ресурсов, которые транзакт может захваты­ вать и использовать какое-то время;

•время жизни транзакта;

•приоритет - неотрицательное число; чем больше приоритет, тем приоритетнее транзакт (например, в очереди);

•параметры обслуживания в каком-либо обслуживающем уст­ ройстве (включая вероятностные характеристики).

Примеры транзактов:

•требование на перечисление денег;

•заказ на выполнение работ в фирме;

•телеграмма, поступающая на узел коммутации сообщений;

•сигнал о загрязнении какого-либо пункта местности;

•приказ руководства;

•покупатель в магазине;

•пассажир самолета;

•проба загрязненной почвы, ожидающая соответствующего анализа.

З.Узлы графа сети представляют собой центры обслуживания транзактов (но необязательно массового обслуживания). В узлах трйнзакты могут задерживаться, обслуживаться, порождать семейст­ ва новых транзактов, уничтожать другие транзакты. С точки зрения вычислительных процессов в каждом узле порождается независи­ мый процесс. Вычислительные процессы выполняются параллельно

икоординируют друг друга. Они реализуются в едином модельном времени, в одном пространстве, учитьюают временную, пространст­ венную и финансовую динамику.

60