Имитационное моделирование экономических процессов

Опыт показывает, что в целях проверки всей системы вычисле­ ний полезно остаточную х;умму квадратов вычислять дважды, поль­ зуясь формулами (7.9) и (7.12).

Сама величина SR недостаточно удобна для определения степени разброса экспериментальных точек относительно уравнения регрес­ сии, так как она зависит от N. Поэтому обычно пользуются остаточ­ ной дисперсией, которая характеризует разброс, отнесенный к одной точке измерения,

где/-число степеней свободы;f=N-k~\.

Так, если у = Ь^,то/=Н-\; если же у = Ь^ + Ь^х^ ,iof=N-\

и т.д. Для вычисления каждого коэффициента bt требуется минимум одна точками. Оставшиеся точки могут рассматриваться как свобод­ ные, и к их числу относят остаточную сумму квадратов SR. Если число опытов равно числу коэффициентов, т.е. N= к-^\,го уравне­ ние регрессии пройдет через все Л'^ точек и разброса вообще не будет

(SR = 0).

Если s^ мало, то, следовательно, уравнение регрессии достаточ­

но точно характеризует процесс; если s^ велико, то или в уравнении регрессии не учтены какие-то существенные факторы х,, или непра­ вильно выбрана степень полинома. При этом если на основе прове­ дения аналогичных экспериментов известна ошибка опьгга о^ , т.е.

ошибки измерения и влияние неконтролируемых факторов z/ , то можно найти ^-отношение:

и проверить гипотезу об адекватности представления результатов полиномом заданной степени d.

В математической статисвш» F-распределение используется для проверки равенства дисперсий в двух сериях опытов. Остановимся несколько подробнее на этом понятии. В выражении для дисперсии

sl = \hyu-yf

J и=\

251

в числителе находится сумма квадратов случайных, нормально рас­ пределенных чисел (по предпосылке регрессионного анализа) с ма­ тематическим ожиданием, равным нулю {у является математиче­ ским ожиданием для >»„). Эта сумма сама есть случайное число, так как для каждой новой серии опьггов N можно получать другое зна­ чение Sy • Такое случайное число имеет свой закон распределения,

который зависит от числа степеней свободы. Этот закон получил название у^ (хи-квадрат). ^'-отношение есть отношение двух случай­ ных величин, каждая из которьк подчинена закону х^:

.Л

поэтому F также является случайной величиной, она подчинена так назьшаемому закону i^-распределения. Плотность распределения этой величины определяется выражением

( # I 2 J

ных величин, характер WR (FJufi) представлен на рис. 7.3 при фик­ сированных значениях/] и ^ . На практике непосредственно выра­ жение (7.14) не применяют, а используют таблицы, которые приво­ дятся в пособиях по математической «татистике (см. приложение 3).

считаем неприемлемой. Только тогда можно судить о том, будет ли полученное числовое значение F слишком большим или малым.

252

За эту критическую область принимают два интервала: интервал больших значений F > Fj и интервал малых значений 0<F<F\ (см. рис. 7.3). Причем точки Fi и Fi подбираются так, чтобы вьшолнялись равенства для соответствующих вероятностей:

P[F>F2] = q/2, P[F<Fi] = q/2.

где q - уровень значимости (он часто задается в процентах).

WAF,fuf2> '

Рис 7.3. Вид F-распределения

Если полученное значение F окажется вне интервала (Fi, Fj), то гипотеза о равенстве ^ = ^2 отбрасывается. Причем правильность

этого решения будет гарантирована с достоверностью (1 - q). В 100^ процентах случаев гипотеза будет отвергаться напрасно. С увеличе­ нием q как бы налагаются более жесткие условия на совпадение ре­ зультатов, и естественно, что гипотеза будет отвергаться чаще. Уменьшение q означает меньшую требовательность. Поскольку для сравнения дисперсий можно брать и обратное отношение

л ~

то получается, что F\ соответствует jr^. В итоге оказывается доста­ точно вычислить одну границу интервала, а именно Fj, при этом в

253

числителе берут большее значение sj,. В таблицах дается одна вели­ чина FT, С которой сравнивается полученное расчетное значение Fp.

Пример 7.1. Использование F-отношения. Рассмотрим результа­ ты моделирования инвестиционного процесса по двум вариантам бизнес-планов инвестиционного проекта. Оба варианта в конечном итоге приводят к получению одного и того же показателя чистого приведенного дохода NPV. По варианту 1 было проведено /ii = 10 опытов с имитационной моделью, а по варианту 2 проведено П2= 15 опытов. Обе серии опытов, естественно, имеют какое-то отклонение от требуемого значения NPV. Дисперсии были подсчитаны, и оказа­

на^ = 15 - 1 = 14. Уравнение регрессии в этом примере имеет вид У = Ьц, где Ьа - искомое среднее значение «чистого» приведенного дохода, т.е. NPVue зависит от управляющих факторов х,. На основе полученного значения F = 1,68 требуется сделать вывод о том, оди­ накова ли степень неопределенности (и риска) у вариантов 1 и 2. Разница в величинах s^ и s^ может бьггь как результатом разной

неопределенности (различного риска), так и следствием случайно­ сти. Зададам уровень значимости q = 10%. Для/i = 9 и ^ = 14 из таб­ лицы (см. приложение 3) найдем Fr= 2,65. Поскольку Fp < Fj, значе­ ние Fp= 1,68 при ^ = 10% является незначимым, т.е. предположение о равенстве дисперсий (а следовательно, и одинаковой неопределен­ ности в^иантов бизнес-планов) не противоречит результатам серий опытов. Если бы получилось Fp > 2,65, то гипотезу об одинаковой неопределенности нужно бьшо бы отбросить, при этом в 10% случа­ ев гипотеза была бы отброшена напрасно.

Аналогичным образом, используя отношение (7.13), можно убедаться в правильности выбора степени полинома d. Если априори есть достаточно оснований для выбора d, то остаточную дисперсию

Sy можно рассматривать как оценку дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента.

254

Переходя к обычной форме записи, из вьфажения (7.15) получаем

где c„ - коэффициенты (будут определены позднее).

Зная si , можно установить доверительные границы для коэф­ фициентов Ь,. Введем случайную величину

%

где Р/ - теоретическое значение коэффициента.

Поскольку Ь, получается из Jlинeйнoй комбинации Уи, а уи имеет нормальное распределение по условиям регрессионного анализа, то разность Ь, - Р, также распределена по нормальному закону. Величи­ на t, являющаяся отношением нормально распределенной случайной

величины к случайной величине, распределенной по ух^ , имеет плотность так назьшаемого ^-распределения:

Данное распределение напоминает по характеру нормальное распределение при/= 1 и переходит в него при/-» ао (рис. 7.4). Ве­ роятность того, что случайная величина t примет значение \t\>tq,

будет равна q. Величина q называется уровнем значимости величи­ ны t (рис. 7.5). Если зададимся значением q = 10% и найдем в табли­ це tqif) (см. приложение 4), то сможем утверждать, что в 90% слу­ чаев истинное значение коэффициента р, будет лежать в'пределах

bi-tq(J)Sf,.^ubi + tgif)Si,.. (7.17)

Коэффициент Ь, незначим, если

257

W,(tJ) '^ / = const

Рис. 7.4. Вид ^pacп^eдeлeния

В математической статистике нельзя дать абсолютно утверди­ тельного ответа ни по одному из параметров. Можно только с опре­ деленной степенью достоверности указьшать пределы, в которых находится значение параметра. Так, в данном случае степень досто­ верности равна 0,9.

Величина tq{f) возрастает с уменьшением q и уменьшается с

увеличением/ Это естественно: увеличение степени достоверноста (уменьшение q) вызывает увеличение диапазона возможного значе­ ния параметра (см. рис. 7.5). Увеличение/означает увеличение чис­ ла испытаний, т.е. более точное определение параметров процесса, поэтому с ростом/диапазон разброса параметра tgif) уменьшается.

Доверительные границы по соотношению (7.17) можно устано­ вить только для случая ортогонального планирования,' когда диаго­ нальные элементы обратной матрицы с„ определяются независимо:

_ 1 _

си = («•)

258

W,(t,f) '^ /= const

-ta

Рис. 7.5. Пример использования ^-распределения для определения интервала достоверности

Если матрица не диагональная (для неортогонального планиро­ вания), то в вычислении с,/ участвуют все элементы матрицы (ЛХ). При изменении числа переменных к, естественно, си получают дру­ гое значение. Поэтому определение дисперсии для каждого коэффи­ циента Ь, становится возможным только при фиксировании значений остальных коэффициентов.

Рассмотрим пример на получение и анализ уравнения регрессии. Пример 7.2. Неортогональное планирование эксперимента. Для того чтобы лучше представлять, как идет процесс решения, зададим сами функцию двух переменных хи хг, и полученные значения функции в заданных точках «засорим» шумами. По этим «засоренньпй» точкам, которые будут имитировать экспериментальные точ­ ки, будем искать нами же заданнь1й полином (в действительности же

вид полинома и даже его степень бывают неизвестны):

Значения функции лС^Ь'^г) и измеренные значения >'„ представ­ лены в табл. 7.1.

259

Таблица 7.1

В ряде случаев бывает известна ошибка опыта. В данном приме­ ре можно принять за ошибку опыта разность мезеду Уи и r\(xi,X2). Тогда

Забудем теперь об уравнении для TI(XI,X2) и начнем искать уравнение регрессии в линейной форме [см. формулу (7.2)], так как полином нулевой степени явно не обеспечит адекватности:

5? = *0'^о+*1-^1+*2^2. ^"2;

Система точек неортогональна:

9

260