Шпаргалка на ряды Фурье и комплексную переменную / matdefs4шпора

1. Тригонометрический ряд: a₀+^_n=1(a_ncos nx+b_nsin nx) (1)

Теорема: Пусть ряд (1) равномерно сходится на [0,2] к некоторой f(x)=(1), тогда a₀= a_n=; b_n=

a₀, a_n, b_n – определены однозначно.

Если f(x) определена на всей оси, f(x+2)=f(x), ограничена на всей оси, интегрируема по Риману на [0,2], то a₀, a_n, b_n – коэффициенты ряда Фурье.

Частичные суммы: S_n(x)=a₀+^_n=1(a_ncos nx+b_nsin nx)=…= = , где D_n(y) – ядро Дирихле. D_n(y)= ; y2kD_N(2k)=N+½y

=…==S_n

2. S_n(x)= f(x)=

S_n(x)-f(x)=

Теорема: Для любой точки x существует функция, непрерывная на всей оси, с 2-периодом, такая что ее ряд Фурье расходится в точке x.

Признак Дини сходимости ряда Фурье в точке.

Утверждение: f – с периодом , непрерывна в точке x₀., предположим, что <M; <M, тогда и сходятся, тогда ряд Фурье для функции f сходится в точке x₀ к Функции f(x₀).

Лемма Римана: Допустим, h(x) интегрируема по Риману на [a,b], тогда ;

3. Признак Липшица: f-2 периодом, интегрируема на (-М,М), непрерывна в точке x₀.

Пусть существует ₀, c>0,  0<<1: для любых y, |y-x₀|<₀ справедливо соотношение:

|f(y)-f(x₀)|<c|y-x₀|^. Тогда Ряд Фурье функции f в точке x₀ сходится к значению f(x₀).

Доказательство: проверить свойство <M.

Пример: f(x)=(-x)/2. |f(y)-f(x)|=½|y-x|; a₀=0, a_n=0, b_n=¹/_n. x(0,2).

4. Признак Дирихле-Жордана: Пусть функция определена на всей оси, 2-периодом.

Предположим, что [0,2]=ⁿ_k=1[p_k,q_k]; (p_k,q_k)(p_l,q_l)=, kl такие, что f монотонна на каждом промежутке и ограничена на всем [0,2]. Тогда ряд Фурье в любой точке сходится к величине ¹/₂((lim f(t) при tx+0)+(lim f(t) при tx-0)).

5. Среднее Фейера: - числовой ряд, =S_N

_N=(S₁+…+S_N)/N=.

Говорят, что числовой ряд суммируем по Фейеру, если существует конечное число А: _NA при N.

Теорема: Фейера Если ряд сходится к сумме S, то суммируем по Фейеру к тому же числу S.

Пример: Раcсходимость ряда: _2n=¹/₂; _2n-1= _n¹/₂ при n.

6. Среднее Фейера для Ряда Фурье: f(x+2)=f(x), интегрируема по Риману на  (-m,m).

_N(x)= =a₀+=

=

7. Выражение среднего Фейера через интеграл

_N(x)= ; f₀(x)=1;

Ядро Фейера: F_N(t)= ; ; F_N(t)>0. _N(x)=

8. Теорема: Фейера о непрерывности функции с 2 - периодом: Пусть f(x+)=f(x), непрерывна на всей вещественной оси, тогда _N(x) f(x) на всей вещественной оси.

9. Свойства линейности Среднего Фейера:

1. _N(x,cf)=c_N(x,f)

2. _N(x,f+g)=_N(x,t)+_N(g).

3. |_N(x,f)|<_N(x,|f|).

4. Следствие:

10. Утверждение: f интегрируема на [a,b], тогда >0 Существует _ непрерывна на [a,b]: _(a)=_(b)=0 и . Из-за интегрируемости f с использованием критерия интегрируемости мы получаем, что существует разбиение a=a₀<a₁<…<a_n=b и такие точки t_k[a_k-1;a_k] т.ч.  приближенно к f кусочно-постоянной функции.

Пусть M=sup|f(x)|. Надо взять =

Следствие: Пусть f-2-период, интегрируема (-m,m), Тогда>0 существует _(x+2)=_(x) .

5. |f(x)|<M x => |_N(x,f)|<M

11. Сходимость Среднего Фейера в метрике L₁:f интегрируема на(-m,m)=>. Доказательство: используя теорему Фейера для  существует N : n>N, x : |_n(x,_)-_(x)|<^/_2.

Сходимость Среднего Фейера в метрике L₂: f интегрируема на (-m,m)

12. Равенство Парсеваля для тригонометрического многочлена:

13. Неравенство Бесселя <

14. Равенство Парсеваля для произвольной интегрируемой по Риману функции:

15. Ряды Фурье для функции с периодом Т: f(x)a₀+^_n=1(a_ncos n^2/_Tx+b_nsin n^2/_T x)

a₀= a_n=; b_n=;

16. Пусть f – комплекснозначна и - сходится. Преобразованием Фурье называется , свойства:

1) ; 2) ; 3) _a(x)=e^iaxf(x), _a(x)=f(t-a); 4) f_a(x)=f(x+a), f_a(t)=e^itaf(t); f,g –комплекснозначные функции: и aбсолютно сходятся, тогда (x)= - свертка (fg)(x). 5)

Обратное преобразование Фурье: g(t) определена на всей вещественной оси

17.

18. Лемма Римана несобственный интеграл - сходится, тогда;

Теорема (условия Дини для обращения преобразования Фурье): f – абсолютно интегрируема на всей оси, - сходится в некоторой точке x₀R: сходится и

и , тогда существует

19. Равенство Пантереля : f – абсолютно интегрируема на (-,), тогда

20. f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y). f_x`(x,y)=u<sub>x</sub>`(x,y)+i v_x`(x,y).

Свойства: 1) (сf)`<sub>x</sub>=c f<sub>x</sub>`; 2) (f+g)`=f<sub>x</sub>`+g_x`; 3) (fg)<sub>x</sub>`=f_x`g+fg<sub>x</sub>`; 4) g(x,y)0; 5)

Частная производная по z. f_Z^{`</sup>(x,y)=½ (f<sub>x</sub>`(x,y)-i f_y`(x,y)); f<sub></sub><sup>`}(x,y)=½ (f_x`(x,y)-i f<sub>y</sub>`(x,y));

Свойства те же.

21. - криволинейный интеграл II рода.

Свойства: 1) ; 2) ; 3) 4) - криволинейный интеграл I рода Двойной интеграл.

22. Формула Грина ;

23. Аналитичность функция f_*(x,y)=f(z); Функция f определена на  аналитична на , f_*, определена на D=J дифференцируема и непрерывна на D и справедливо f_*`_Z(M)=0 для MD.

Свойства: 1) f аналитична в  => сf – аналитична в ; 2) f,g – аналитичны в  => f+g, fg – аналитичны в ; 3) g(z)0 в , g – аналитична в , то ¹/_g – аналитична в ; 4) f,g0 аналитична в  => ^f/_g – аналитична в .

24. DC – открытое множество и f – аналитична в D. Для zD : f(z)G (открытое множество ) () аналитична в G h(z)=(f(z)) – аналитична.

25. A(D) – множество всех аналитичных функций (D – открытое непустое) fA(D)  z=x+iyD выполяется система уравнений Коши-Римана {u_x`=v<sub>y</sub>`; u_y`=-v<sub>x</sub>`}

f=u(x,y)+iv(x,y)

e^z=e^x(cos y+i sin y); cos z=½ (e^iz+e^-iz); sin z=½_i (e^iz-e^-iz); ln Z=ln|Z|+i argZ – главная ветвь логарифма. lnZ=ln|Z|+i arg Z+2ki; e^lnZ=Z; (ln Z)`=<sup>1</sup>/<sub>Z</sub>; Z<sup></sup>=e<sup>lnZ</sup>; e<sup>lnZ</sup>=Z<sup></sup>; i<sup>i</sup>=e<sup>/2</sup>; (z<sup></sup>)`=az^

27. Теорема Коши: f аналитична на D (связанное открытое ограниченное множество), ограниченная границей Г (конечное число кусочно-гладких кривых), f – имеет непрерывные частные производные f_x` и f<sub>y</sub>` вплоть до границы D, тогда (+ ориентированная граница)

28. Формула Коши для производной f `(z₀)= 29. =0;

30. Формула Коши для n-ой производной

31. Неравенство Коши ={:|-a|=r}, R>r fА(B_r(a)), Пусть |f()|<M. ;

32. (сход. к своей  равномерно на Е, если V_n(z)=_n(z)+i_n(z), рядыи равномерно сходятся. Признак Вейерштрасса |V_n(z)|<a_n  сходится равномерно.

33. fA(B_r(a)) zВ_R(a) справедливо f(z)=f(a)+ Ряд сходится на замкнутом круге

34. Ряд Тейлора e^z=1+; cos Z=1+; sin Z=;ln(1+z)= ; (1+z)^r=1+

35. Теорема Абеля: Рассмотрим степенной ряд С₀+ . Предположим, что ряд сходится в точке z₀a R=|z₀-a|. Тогда ряд сходится в круге zB_R(a) и для 0<r<R равномерно сходится в замкнутом круге .

36. Ряд С₀+ . 1) Сходится, только при z=a тогда =0; 2) Сходится при любых комплексных z, тогда =; 3) z_a. в которой ряд сходится и z_a при которой ряд расходится  |z₀-a|<<|z₁-a|, тогда при  |z-a|< ряд сходится и при z_* : |z_*-a|> расходится

37. Предположим, что имеется степенной ряд С₀+ и пусть >0, тогда сумма ряда является аналитичной в круге B_(a).

38. Теоремы единственности для открытого круга: 1) R>0, fA(B_R(a)) Пусть 0<r<R и f(z)=0 при zB_r(a), тогда f=0 в B_R(a); 2) fA(D), D – открытое, связное множество  B_r(a)D, f=0 при zB_r(a) => f=0 в D; 3) D – связное, открытое множество fA(D) и f0 в D и пусть S={z₀D : f(z₀)=0}. Тогда множество S не может иметь точки сгущения внутри области D.

39. B`<sub>r</sub>(a)=B<sub>r</sub>(a)\{a}. Предположим, что fA(B`_r(a)), тогда возможны 3 поведения функции в области B`<sub>r</sub>(a): 1) <r, >0 и M:z B`_(a) выполняется |f(z)|<M, тогда можно доопределить функцию в точке а, так что fA(B_r(a)); 2) |f(z)|+ при za функция f имеет в точке a полюс; n>1 : , n называется порядком полюса функции f в точке a. Если n=1 – f имеет в точке а простой полюс, иначе кратный полюс; 3) |f(z)| неограничена в окресности точки а, но |f(z)|+ при za, тогда f имеет в точке а, существенно особую точку.пример: g(z)=e^1/(z-a).

40. 0<<r<+ открытое кольцо B_,_r(a)={z:<|z-a|<r}, если 0<<r<+, то замкнутое кольцо B_,_r(a)={z:<|z-a|<r} и fA(B`<sub>R</sub>(a)). Тогда 1) zB`_R(a) f может быть представлена, f(z)=+ , где оба ряда сходятся; 2)При zB_,_r(a) оба ряда в сходятся равномерно. - ряд Лорана, C_-1=res_fa= где  - любая окружность, содержащаяся в области B`_R(a) c центром в точке a.

Теорема о вычетах fA(D\ⁿ_k=1{a_k}) и непрерывна до границы Г=D. R_k>0 выберем круги и B_Rk(a)_kl B_Rl(a)=, тогда

42. Типы поведения: 1-му соответствует ряд Лорана C_-n=0 n; 2-му C_-n=0 для n>N С_-N0; 3-му n_k C-_nk0

Принцип максимума. Пусть fA(D). Тогда |f(z)| не может иметь строго локального максимума при zD. Если при z₀D достигает |f(z)| не строгого локального максимума, то f=const.

Следствие: Если f аналитична в D и f непрерывна в D, то max_zD|f(z)|=max_zD|f(z)| - максимум достигается на границе.