II этап :
Построим вывод :
Рассмотрим
полином Жегалкина
функции
.
.
В силу того, что нелинейная, полином содержит по крайней мере одно слагаемое, которое есть конъюнкция по крайней мере двух переменных. Для определенности будем считать, что эта конъюнкция первых двух переменных. Используя дистрибутивность умножения относительно суммы, сгруппируем слагаемые следующим образом .
Из
всех слагаемых, содержащих
и
вынесем за скобку конъюнкцию этих двух
переменных
;
полином в скобках обозначим
;
из всех слагаемых, содержащих только
,
вынесем
за скобку
:
;
из всех слагаемых, содержащих
,
вынесем
:
;
останутся слагаемые, которые не содержат
ни
, ни
,
обозначим этот полином
.
Из
единственности полинома Жегалкина
следует, что существует значение
переменных
,
при котором
.
Совершим соответствующие подстановки
констант в нелинейную функцию
.
Таким
образом, получили функцию
,
где
некоторые константы.
Имеем восемь случаев :
-
1
2
3
f(x1,x2)
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
На
самом деле достаточно рассмотреть всего
лишь четыре случая, а именно, случай
сводится к случаю, когда
подстановкой соответствующей функции
в функцию отрицания
.
Таким образом, достаточно рассмотреть случаи:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1)
Требуемая конъюнкция получена.
2) 
.
3)
.
4)
Например,
из
получим
.
После группировки слагаемых получаем
,
полином
равен 1, например, если
,
.
Подставляем 1 в
,
0 в
,
получаем функцию
.
Подставляем
в переменную
,
получаем
.
Упражнение 1: Исследовать на полноту:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Упражнение
2: Получить
из функции
функции
.
1)
2) 4) 5)
не полная 6)
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
Примеры:
1)
Исследовать на полноту систему
:
-
T0
T1
S
M
L
f1
-
+
-
-
-
f2
-
f3
2) Исследовать на полноту систему
:
-
T0
T1
S
M
L
f1
+
-
-
+
+
f2
-
+
+
f3
+
-
f4
+
-
f5
+
Система неполная, т.к. и монотонны, то и суперпозиция этих функций монотонны,поэтому пятая функция тоже монотонна.
Система принадлежит монотонному классу, поэтому неполна.
3) Можно ли из системы функций
получить функцию 0 :
-
T0
T1
S
M
L
f1
-
-
+
-
+
f2
+
f3
+
+
Система принадлежит классу самодвойственных функции, в силу замкнутости этого класса, и в силу несамодвойственности 0, получить 0 из функций системы нельзя.
4) Можно ли из системы функций
получить
и
,
и если «да», опишите определяющие
выражения :
-
T0
T1
S
M
L
f1
+
-
-
-
f2
-
f3
-
Система полная, поэтому получить можно любые функции.
I
:
II:
5) Можно ли из системы функций
получить
функции
, и если “да”, опишите определяющие выражения :
-
T0
T1
S
M
L
f1
-
-
-
-
f2
-
-
x1
x2
x3
f1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0 -
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0 -
1
1
0
1
1
1
1
0
I :
Упражнения : Исследовать на полноту системы :
1)
; 2)
; 3)
;
4)
;
5)
;
Можно ли из соответствующих систем функций получить следующие функции , и если “да”, то напишите определяющее выражение:
6)
из
системы функций
получить функцию
;
7)
из
системы функций
получить функцию 0 ;
8)
из
системы функций
получить функции
;
9) из системы функций
получить
функции
;
10)
из системы функций
получить функции
;