8.2 Критерий префиксного кодирования Мак-Миллана.

Определение. Кодирование называют типа , если существует штук кодовых слов единичной длины, кодовых слов из двух букв, слов из трех букв, …, слов длины .

Критерий. Префиксное корректное кодирование типа существует тогда и только тогда, когда – мощность кодирующего алфавита.

Доказательство.

Необходимость. Пусть – корректное кодирование типа . Покажем справедливость формулы .

Перепишем формулу в виде: – длины кодовых слов. Возведем сумму в степень : , т.е. возьмем произведений таких сумм здесь параметры независимо друг от друга пробегают множество от до : , где – число представлений числа в виде суммы с помощью группировки слагаемых. Т.к. кодирование корректно, то .

Действительно, – это общее число слов в кодирующем алфавите длины , а каждое решение уравнения будет соответствовать некоторому кодирующему слову, которых, в силу корректности, не может быть больше чем общее число слов длины :

Достаточность. Пусть числа удовлетворяют соотношению . Построим префиксное кодирование типа .

Перепишем сумму по слагаемым:

Наша задача – построить кодовые слова такие, что никакое кодовое слово не начиналось на другое слово. Построим в начале кодовые слова единичной длины, а потом длины 2 и т.д.

Из неравенства следует, что , т.е. . В кодирующем алфавите есть букв и мы должны выбрать различных кодовых слов единичной длины, а из неравенства следует, что это действительно можно сделать.

Далее построим кодовые слова длины 2. Тогда выполняется неравенство , из которого следует, что , где – общее число слов длины 2 в кодовом алфавите, а – число слов длины 2, которые начинаются на кодовые слова единичной длины. Таким образом, число допустимых слов длины 2 равно . Из полученного неравенства следует, что мы действительно можем выбрать кодовые слова длины 2, чтобы выполнялись условия префиксности.

Допустим, что уже выбраны кодовые слова длины меньшей , причем соблюдая условия префиксности. Покажем, что можно выбрать кодовые слова длины .

Из неравенства следует, что , где – общее число слов длины в кодирующем алфавите, – число слов длины , которые начинаются на кодовые слова длины и т. д., число слов длины , которые начинаются на кодовые слова длины 1. Таким образом, мы построили префиксное кодирование типа .

Теория кодирования имеет применение в задачах устойчивой пердачи информации.

Основная литература:

1 Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М. 1987

2 Гаврилов Г. П., Сапоженко А.А. "Сборник задач по

дискретной математике". - М. 1989. М. 1992.

3 Сачков,Владимир Николаевич.    Комбинаторные методы дискретной математики. - М. : Наука, 1977. - 320с

4 Новиков Ф. А.    Дискретная математика для программистов : учебник. - СПб. : Питер, 2002. - 302 с.  

Дополнительная литература:

1 Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной

математике.

2 Лебедев В.Н., Тарасов М.И. Конспект лекций

по дискретной математике. Волгоград 2000.