6.4 Оценка сложности функций n переменных .

Утвердение Сложность любой двочной функции не более чем n перменных лежит в пределах:

при некоторых положительных константах и .

Доказательство: Покажем справедливость верхней оценки. Рассмотрим любую двоичную функцию и разложим данную функцию по первым переменным. Справедлива формула :

( *)

По данной формуле построим схему, которая будет вычислять данную . Реализуем схему вычисления следующим образом:

Рассмотрим дешифрование порядка , где . Скобками обозначают минимальное натуральное число превосходящее действительное число . ( логарифм по основанию 2). Очевидны оценки:

Схема нарисована согласно формуле , т.е. на остаточные входы дешифратора подаются соответствующие функции от переменных, которые получаются универсальным многополюсником.

Т.о. сложность построенной схемы:

Покажем, что каждое слагаемое есть

1)

т.к. , поэтому ограничена;

2) т.к. , , поэтому ограничена;

3) .

Требуемое доказано. Оценим сложность функции снизу, применяя мощностной метод. Пусть число функциональных элементов в схеме . Обозначим символом число схем с входами, число элементов в которых . Покажем, что число таких схем удовлетворяет оценке: .

Действительно, общее число элементов можно разбить на группы с числом конъюнкций , дизъюнкций и отрицаний не более чем способами. Теперь перечислим всевозможные соединения элементов. Каждый элемент в схеме имеет не более 2-х входов. Каждый вход можно соединить не более чем с выходами других элементов, либо с входами схемы.

Поэтому общее число соединений 1-го элемента не больше , а т.к. элементов не превосходит , то общее число соединений элементов не больше чем .

Осталось назначить общий выход схемы, это можно сделать способами (в схеме элементов и выходов). Таким образом, общее число схем не превосходит , т.к. число переменных в схеме не менее 1.

Что и требовалось доказать.

В качестве возьмем сложность , т.е. минимальное число элементов для реализации всех функций от переменных выполняется: . Т.е. число различным схем сложности не менее общего числа функций от переменных. В противном случае некоторая функция от переменных не могла быть реализована схемой сложности .

Используя оценку получаем . Прологарифмируем данное неравенство: . Используя полученную ранее верхнюю оценку сложности для функции Шенона легко показать необходимую оценку.

Справедливы следующие элементарные арифметические выкладки:

по ранее полученной оценке Шеноновская сложность двоичных функций от переменных в асимптотике:

, поэтому , поэтому

,

тогда ;

при некоторой положительной константе

Утверждение. Известная точная асимптотика функции сложности:

, .

7. Элементы теории конечных автоматов.

Определение. Рассмотрим два конечных множества и . Будем называть их входным и выходным алфавитами соответственно. Элементы алфавитов будем называть буквами.

Все бесконечные последовательности букв алфавита будем обозначать и называть бесконечными словами. Символом будем обозначать всевозможные конечные слова в алфавите . Слова длины в алфавите будем обозначать – декартово произведение множества на себя раз. Скажем, что слово является началом слова или приставкой, если для некоторого слова . Длину конечного слова , т.е. число его букв, будем обозначать как .

Пример. – начало слова , где .

Напоминаем некоторые введенные ранее понятия.

Пусть – конечное множество. Отношением на данном множестве будем называть любое подмножество его декартового произведения . Рассмотрим декартово произведение на себя: . Т.е. это множество всевозможных слов из двух букв в алфавите . Отношением эквивалентности называется подмножество декартового произведения, которое удовлетворяет следующих трем свойствам:

4. Рефлексивность. .

5. Симметричность. .

6. Транзитивность. .

Примеры отношения эквивалентности.

Пример 1. Рассмотрим в качестве множества X множество натуральных чисел: . Для него рассмотрим обычное равенство натуральных чисел. Скажем, что два натуральных числа эквивалентны, если они равны в обычном смысле. Очевидно, что это есть отношение эквивалентности.

Пример 2. Рассмотрим произвольное натуральное число . Числа x и y назовем эквивалентными , если они дают один и тот же остаток при делении на . Очевидно, что это есть отношение эквивалентности.

Пример 3. Введем отношение эквивалентности на множестве слов, длина которых не меньше числа . Рассмотрим множество этих слов в алфавите . Скажем, что пара слов и эквивалентны, если совпадают их первые букв. Убедитесь сами, что все три свойства эквивалентности выполнены.

Утверждение. Пусть – множество, – отношение эквивалентности на нем. Тогда разбивает все элементы на классы эквивалентных элементов (Любая пара различных классов не пересекается между собой- , и их объединение совпадает с множеством ; ; количество классов может быть бесконечным). Любая пара элементов одного класса эквивалентна, а любая пара элементов различных классов не эквивалентна. Данное разбиение однозначно определяется отношением эквивалентности .

Докажите это утверждение самостоятельно.

Пример 1. Классы эквивалентности – одноэлементные подмножества , .

Пример 2. Пусть задано отношение эквивалентности на множестве натуральных чисел . Числа эквивалентны, если их остатки от деления на совпадают. Классы эквивалентности – , .

Пример 3. Если для тех же натуральных чисел взять вместо двух произвольное число , то число классов эквивалентности будет так же . По одному классу на каждый из их остатков.

Определение. Пусть заданы конечные алфавиты: – входной и – выходной. Задана функция , которая ставит в соответствие бесконечной последовательности из алфавита некоторую бесконечную последовательность алфавита . Функция называется детерминированной, если начало выходного слова однозначно определяется соответствующим началом входного слова, т.е. выполнено следующее формальное определение: (любая пара слов , которые имеют одно и тоже начало преобразуются функцией в пару слов , которые имеют одно и тоже начало соответствующее началу ). Говоря другими словами, начало длины выходного слова не зависит от конца входного слова (начиная с -ой буквы).

Определение. Остаточной функцией, соответствующей слову и детерминированной функции , называют функцию , которая определяется следующим образом. Чтобы определить значение этой функции на входной последовательности , добавим к этому слову приставку , получим слово , применим к этому слову функцию , в результате получим слово и тогда значением объявим слово . ; ; ; ; ; .

Определение. Функция называется ограниченно-детерминированной, если число различных остаточных функций конечно.

Пример. Рассмотрим константно-периодическую функцию. Такая функция на любом входном слове равна одному и тому же выходному слову, и есть некоторое периодичное слово, бесконечное повторение некоторого конечного слова . Очевидно, что такая функция детерминированная, а число различных остаточных функций равно длине периода, т.е. длине слова .

Замечание. Каждая остаточная функция является детерминированной.

Дадим эквивалентное определение ограниченно-детерминированных функций в классе некоторых устройств, которые их вычисляют.

Определение. Конечным автоматом называют набор из шести множеств , где – входной алфавит, – выходной алфавит, – множество состояний автомата (конечные множества), , – функция переходов состояний ; – функция выходов автомата .

Автомат имеет две ленты (входную и выходную) и считывающий элемент, который в каждый момент времени находится в одном из своих состояний . Функционирование автомата однозначно определяется функцией переходов, функцией выходов и входным словом, которое написано на входной ленте. В начальный момент времени состояние автомата и он обозревает самую левую букву входного слова. Далее процесс вычисления происходит следующим образом: 1. Если в текущий момент времени считывающий элемент находится в состоянии , обозревая символ на входной ленте, то он переходит в состояние согласно функции переходов на паре ; на выходной ленте считывающий элемент печатает символ согласно функции выхода и сдвигается на ячейку вправо. После считывания входного слова, т.е. в момент времени равного длине входного слова, на выходной ленте будет написано некоторое выходное слово в алфавите . Это слово и объявляем выходом автомата на входном слове, записанном на ленте. Таким образом, автомат вычисляет некоторую словарную функцию , которую называют функцией соответствующего автомата, .