4 Графы

4.1 Неориентированные, ориентированные графы. Способы задания графов.

Матрица смежности, матрица инцендентностей, список смежности.

Определение. Неориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество неориентированных ребер графа, и последнее множество есть некоторое подмножество множества всех неупорядоченных пар вершин .

Пример. Пусть множество вершин состоит из трех элементов. Следовательно, неупорядоченными парами будут следующие двухэлементные подмножества трехэлементного множества :

Для графов удобно планарное представление, где вершинам графа соответствуют точки плоскости, а неориентированным ребрам соответствуют отрезки, соединяющие соответствующие пары вершин.

Пример. Ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .

Определение. Ориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество упорядоченных пар вершин – ориентированных ребер, и это есть некоторое подмножество декартова произведения :

Пример. Множество вершин состоит из трех элементов . Тогда упорядоченными парами вершин будут следующие:

Для ориентированных графов удобно планарное представление, где вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам соответствуют ориентированные линии, которые соединяют в определенном направлении соответствующие пары вершин.

Пример. Ориентированное ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .

Представление графов

1. Задание графа с помощью матрицы смежности.

Пусть в графе число вершин равно :

Для задания графа будем использовать квадратную матрицу размера . Каждая строка и каждый столбец матрицы соответствуют определенной вершине графа. На пересечении строки и столбца ставим 1 тогда и только тогда, когда неупорядоченная пара является ребром графа. В противном случае ставим 0. Таким образом, число единиц в матрице определяется числом ребер графа. Матрица смежности неориентированного графа является симметрической (т.е. она совпадает со своей транспонированной матрицей).

Действительно, если пара – ребро графа, тогда пара также является ребром графа (так как рассматривается неориентированный граф).

2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.

Пусть задан граф с вершинами и ребрами:

,

Матрица инцидентности для данного графа есть прямоугольная матрица размера размера , строки матрицы соответствуют вершинам, столбцы – ребрам.

На пресечении строки и столбца ставим 1 тогда и только тогда, когда вершина является одним из концов ребра , в противном случае – 0. Таким образом, каждый столбец матрицы инцидентности содержит либо две единицы, либо одну. Если столбец содержит одну единицу, то ребро, соответствующее данному столбцу, является петлей.

3. Задание графа с помощью списка смежности.

Для каждой вершины выписывается множество вершин, которые смежны с рассматриваемой. Вершина смежна с вершиной , если – ребро графа. Данный способ является наиболее экономным способом представления графов.

Определение. Полным графом называется граф, в котором все вершины соединены между собой неориентированными ребрами. То есть, множество ребер состоит из всевозможных неупорядоченных пар вершин графа. Число вершин графа (мощность множества вершин графа) будем обозначать . Число ребер в полном неориентированном графе на множестве вершин V задается формулой . Если , тогда:

То есть, по порядку, число вершин в полном графе квадратично относительно мощности множества вершин графа. Размер матрицы смежности неориентированного графа – . Общая память квадратична по , что является неэкономичным, когда граф разряжен, то есть число ребер мало.

Пример. Рассмотрим пустой граф на множестве вершин и пустом множестве ребер :

,

тогда матрица смежности потребует памяти, а список смежности будет содержать только перечисление вершин графа, поэтому память будет линейна относительно .

Аналогичным образом можно представлять ориентированные графы. Отличие будет в представлении матрицы инцидентности и списка смежности. В матрице инцидентности будем ставить 1 на пересечении строки и столбца , если вершина является началом некоторого ребра, а врешина – концом данного ребра и -1 будем ставить, если вершина является концом некоторого ребра, а вершина – его началом. Если нет ребра, соединяющего вершины и , то ставим 0.

В списке смежности для вершины выписываем вершины концов ребер, исходящих из вершины .

Определение. Два графа называются изоморфными, если между вершинами графов можно установить взаимооднозначное соответствие , сохраняющее соответствие смежности между вершинами.

Иначе говоря, графы изоморфны, если они одинаковы с точностью до переименования вершин.

Пример. Представленная пара графов изоморфна:

Изоморфизм определяется следующим соотношением между вершинами:

Следующие два графа не изоморфны:

Очевидно, что изоморфные графы должны иметь одно и то же число вершин и одно и то же число ребер. В представленных графах число ребер различно.

Определение изоморфности ориентированных графов аналогично.