- •Тема 8. Дискретные случайные величины (дсв) (3 ч.)
- •§ 1. Понятие и виды случайной величины
- •§ 2. Числовые характеристики дсв
- •§ 3. Законы распределения дсв
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Пуассоновское распределение
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Тема 9. Непрерывные случайные величины (нсв) (4 ч.)
- •§ 1. Функция распределения вероятностей
- •§ 2. Плотность распределения вероятностей
- •§ 3. Числовые характеристики нсв
- •§ 4. Законы распределения нсв
- •1. Равномерное распределение
- •2. Показательное распределение
- •3. Нормальное распределение
- •Тема 10. Закон больших чисел (1 ч.)
§ 2. Плотность распределения вероятностей
О.2. Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е.
.
Свойства функции :
Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .
Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е.
.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
.
4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле:
.
5. Если известна плотность распределения , то функция распределения может быть найдена по формуле:
Пример 3. НСВ задана плотностью распределения
.
Найти функцию распределения вероятностей и построить графики и . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала .
Решение:
при : ;
при : ;
при : ;
.
.
§ 3. Числовые характеристики нсв
Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики.
О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл:
.
O.2. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла
.
Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.
Замечание 2. На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: .
O.3. Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е.
.
О.4. Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
O.5. Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:
.
Пример 1. НСВ задана плотностью распределения вероятностей в интервале . Вне этого интервала . Найти все числовые характеристики НСВ .
Решение:
;
;
;
;
Т. к. кривая распределения – парабола симметричная относительно
прямой , то .
§ 4. Законы распределения нсв
Плотности распределения НСВ называют также законами распределения. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.
1. Равномерное распределение
О.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:
Свойства равномерного распределения
1. Зная плотность распределения, и используя формулу ,
можно найти функцию распределения:
2. Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:
.
3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле:
.
Пример 1. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 минут. Считая, что НСВ - время ожидания автобуса - распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание), среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность того, случайно подошедший на остановку пассажир будет ожидать автобус не более 4 минут, но и не менее 2 минут.
Решение:
;
.