- •Тема 8. Дискретные случайные величины (дсв) (3 ч.)
- •§ 1. Понятие и виды случайной величины
- •§ 2. Числовые характеристики дсв
- •§ 3. Законы распределения дсв
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Пуассоновское распределение
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Тема 9. Непрерывные случайные величины (нсв) (4 ч.)
- •§ 1. Функция распределения вероятностей
- •§ 2. Плотность распределения вероятностей
- •§ 3. Числовые характеристики нсв
- •§ 4. Законы распределения нсв
- •1. Равномерное распределение
- •2. Показательное распределение
- •3. Нормальное распределение
- •Тема 10. Закон больших чисел (1 ч.)
4. Гипергеометрическое распределение
Пусть имеется элементов, среди которых обладают свойством . Случайным образом выбирается элементов (выбор каждого элемента равновозможен), причем выборка осуществляется без возвращения.
Рассмотрим в качестве ДСВ количество элементов , обладающих свойством среди отобранных элементов. Т. е. величина может принимать значения: .
Вероятности этих значений определяются по формуле:
, где . (2)
O. 5. Закон распределения вероятностей ДСВ называется гипергеометрическим, если вероятности ее возможных значений определяются по формуле (2).
Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:
.
Пример 3. Гражданин приобрел случайным образом 5 акций двадцати АО. Через год 6 из 20-ти АО разорились. Составить закон распределения и построить многоугольник распределения возможного числа акций банкротов среди купленных гражданином акций и найти числовые характеристики.
Решение:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
|
|
|
|
|
|
Контроль: 1
.
Тема 9. Непрерывные случайные величины (нсв) (4 ч.)
§ 1. Функция распределения вероятностей
Т. к. способ задания случайных величин с помощью ряда распределения имеет место только для ДСВ, то естественно возникает вопрос: можно ли ввести общий способ задания для всех типов случайных величин?
Пусть - случайная величина, а - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее обозначается .
Если изменяется, то изменяется и , т.е. есть функция зависящая от .
О. 1. Функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.
.
Геометрически это означает, что есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, расположенной слева от точки .
Свойства функции :
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е.
.
2. Функция неубывающая, т.е.
, если .
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то:
1) при ;
2) при .
4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:
.
5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение , равна нулю, т.е.
.
График функции распределения вероятностей ДСВ представляет собой ступенчатую фигуру, а НСВ – непрерывную линию. Причем, если речь идет о ДСВ и ее возможные значения расположить в порядке возрастания , то может быть представлена в виде:
Пример 1. ДСВ задана таблицей распределения:
|
1 |
4 |
8 |
|
0,3 |
0,1 |
0,6 |
Найти функцию распределения и изобразить ее на графике.
Решение:
Пример 2. НСВ задана своей функцией распределения:
Построить график функции и найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .
Решение:
.