- •Постоянное электрическое поле
- •3. Электрическое поле
- •3.6. Принцип суперпозиции электрических полей
- •3.7. Напряженность поля точечного заряда
- •3.8. Линии напряженности
- •4. Теорема Гаусса
- •4.1. Поток вектора напряжeнности электрического поля
- •4.1.3. Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле
- •4.2.2. Заряд в произвольном месте внутри сферы
- •4.2.4. Поток вектора е поля системы зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности
- •4.2.5. Поток вектора е для поля, созданного зарядами, находящимися вне замкнутой поверхности
- •9.4.3. Формулировка теоремы Гаусса
- •4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
- •Вопросы
- •9. Проводник в электрическом поле
- •10. Электроемкость уединенного проводника
- •11. Электроемкость конденсатора
- •12. Энергия электрического поля
- •12.1. Плотность энергии электрического поля в вакууме
- •13. Электрическое поле в диэлектрике
- •13.1. Диэлектрик
- •13.1.1. Два типа диэлектриков - полярные и неполярные
- •13.2. Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:
- •13.4.1. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике
- •Постоянный электрический ток
- •1. Определение электрического тока
- •2. Плотность тока
- •2.1. Связь плотности тока и скорости упорядоченного движения зарядов
- •4. Закон Ома для участка цепи
- •5. Закон Ома в дифференциальной форме
- •6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Магнитное поле в вакууме
- •1. Движущийся заряд - источник магнитного поля, индикатор магнитного поля - другой движущийся заряд
- •2. Проводник с током создает только магнитное поле, другой проводник с током реагирует только на магнитное поле
- •3. Рамка с током. Вектор магнитной индукции
- •3.1. Линии магнитной индукции:
- •4. Закон Био-Савара-Лапласа
- •4.1. Применение закона Био-Савара-Лапласа для нахождения магнитного поля прямого тока
- •5.6. Магнитное поле тороида
- •6. Закон Ампера
- •7. Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд
- •7.1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
- •11.1. Потокосцепление
- •11.2. Индуктивность соленоида
- •Практическое применение электромагнитной индукции
- •11.3. Энергия магнитного поля
- •Магнитное поле в веществе
- •2. Классификация магнетиков
- •Уравнения Максвелла
- •3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
а) выбор гауссовой поверхности: куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Еn=0), либо перпендикулярен (Еn=E). Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.
б) считаем Σqi внутри "гауссова ящика": очевидно,
;
в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε0:
.
Выражаем E: .
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.
4.4.2. Поле плоского конденсатора . Т.к. , то .
4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра
- линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получим:
, при r > R.
4.4.4. Поле однородно заряженной сферы
|
Применяя теорему Гаусса, получим:
при r > R. Если r < R, то E = 0. |
- объемная плотность заряда q- суммарный заряд шара
|
Применяя теорему Гаусса, получим:
|
5. Работа электростатического поля
.
5.1. Работа электрического поля точечного заряда
Пусть Е создается точечным зарядом q, тогда
;
,
Работа поля:
.
6. Потенциал - энергетическая характеристика поля
Потенциал электростатического поля в точке r равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда q', помещенного в данную точку, к величине этого заряда q'.
, φ - не зависит от q'!
Единица потенциала - 1 вольт (1 В) .
6.2. Разность потенциалов, связь с работой
. ; ; |
|
φ1 - φ2 - разность потенциалов, .
6.2.1. Потенциал поля точечного заряда
.
.
Значит, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q:
,
здесь мы полагаем, что на бесконечности потенциал φ равен нулю.
6.2.2. Потенциал поля системы точечных зарядов
В общем случае: ,
6.2.3. Электрон-вольт - внесистемная единица работы
;
|
|
|
7. Связь между напряженностью и потенциалом
Заряд q перемещается в электрическом поле на из точки 1 в точку 2. Выразим работу по перемещению заряда двумя способами:
а) через напряженность
, ;
б) через разность потенциалов:
.
Приравнивая, получим:
.
Возьмем вдоль оси x, тогда:
.
Для вдоль оси у, имеем:
.
Для вдоль оси z:
.
Вектор напряженности:
.
Обозначим
.
Это оператор градиента, или оператор Гамильтона. Другое название значка - оператор набла. Тогда
Напряженность равна (-) градиенту потенциала.
8. Эквипотенциальная поверхность (лат. aequus - равный) - поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, т.е.
Перемещаем заряд q вдоль эквипотенциальной поверхности:
Линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d , (1.8)
где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
откуда
.
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.
E = - grad = -Ñ .
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4pe0er. Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора
.
Проекция же градиента потенциала на направление вектора t, перпендикулярного вектору r, равна
,
т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).
В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением рис. 1.6
силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.
рис. 1.7
При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми.
Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.