Пример № 1

Экономико-математическая постановка задачи

Компания «ПЕГМЕНТ» производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов А и В, которая поступает в оптовую продажу. Нормативный расход сырья для производства краски и получаемый доход от ее продажи представлен в таблице № 1.

Таблица № 1 – Исходные данные

		Расход сырья на тонну краски (т)		Максимально возможный ежедневный расход сырья (т)
		для наружных работ	для внутренних работ
Сырье	А	2	3	9
	В	3	2	13
Оптовые цены ед. продукции за тонну (в $ 1000)		3	4

Из-за отсутствия надлежащего спроса отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т. и поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для наружных работ не превышало более чем на тонну аналогичный показатель краски для внутренних работ. Максимально-возможный ежедневный расход сырья определяется его возрастающим спросом и возможностями складского хранения.

Встает проблема в производстве количества каждого вида продукции, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

1. Уяснение оперативно тактической постановки задачи

• Цель действий: Получение максимального ежедневного дохода от продажи, выпускаемой продукции.

• Цель математического моделирования: обоснование оптимального соотношения объема выпускаемой продукции при заданных условиях.

• Показатель эффективности определим из цели действия – ежедневный доход от продажи, выпускаемой продукции.

• Данный случайный процесс представим в виде экономической системы в структурной форме (см. рис.1):

Элементами системы являются:

• сырье;

• ежедневный объем производства различных видов краски;

• ежедневный доход от продажи, выпускаемой продукции;

• условия среды.

Среда взаимодействия с экономическая системой компании накладывает определенные условия, которым должен удовлетворять ежедневный объем производства различных видов краски. Эти условия должны учитывать ограниченные возможности ежедневного потребления сырья и ограниченность спроса на готовую продукцию.

Рисунок 1

Графический метод

2. Разработка математической модели

По условию задачи нам неизвестен ежедневный объем производства различных видов краски. Обозначим эти объемы как неизвестные переменные модели:

х₁ – ежедневный объем производства краски для наружных работ;

х₂ - ежедневный объем производства краски для внутренних работ.

Доход, получаемый от продажи ежедневного объема производства каждого вида выпускаемой продукции, является условной стоимостью, представляющий выходной величиной экономической системы. Обозначим его как с_j. По условию задачи с₁ = 3, с₂ = 4. Тогда ежедневный доход от продажи, выпускаемой продукции можно представить в виде целевой функции:

Технологические данные производства выпускаемой продукции (в конкретном случае ежедневный расход сырья) являются заданными постоянными входными величинами. Обозначим эти величины как а_ij. По условию задачи а₁₁ = 2, а₁₂ = 3, а₂₁ = 3, а₂₂ = 2. Ограниченные возможности ежедневного объема производства обозначим как b_i. По условию задачи ежедневный расход сырья А и В ограничен и соответственно составляет b₁ = 9, b₂ = 13. Тогда получаем следующие ограничения на потребление сырья:

Кроме того, ограниченность спроса на готовую продукцию обязывает, чтобы максимальный ежедневный объем производства краски для внутренних работ не превышал b₃ = 2, а ежедневный объем производства краски для наружных работ не превышал не более чем на тонну аналогичный показатель краски для внутренних работ b₄ = 1. Тогда получаем следующие ограничения на производство выпускаемой продукции, определяющиеся спросом:

И еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х₁ и х₂ должны быть неотрицательными.

Так как ЦФ и УО записаны в линейной форме, то данную задачу можно решить методом линейного программирования. Постановка ЗЛП осуществляется следующим образом:

Найти неотрицательные значения неизвестных переменных х_1, х₂ обращающих ЦФ в максимум:

, при

удовлетворяющих системе линейных ограничений:

неравенств, задающих условия решения задачи, определяемые ежедневным расходом сырья

(1)

(2)

и неравенств, задающих условия решения задачи, определяемые спросом на готовую продукцию

(3)

(4)

а также ограничений на переменные

(5)

(6)

Данная постановка задачи имеет только единственное решение, т.к. неизвестное число переменных (n = 2) равно числу линейных ограничений системы (m = 2) как для первого, так и для второго случая.