3. Вычисление коэффициентов целевой функции и системы ограничений
Составим систему ограничений, содержащую следующие требования:
потоки передаваемой информации не могут принимать отрицательных значений, т.е. Xi≥0;
суммарный поток информации между заданной парой узлов, подставленный, в виде суммы потоков по каждому из путей, должен быть равен требуемому потоку информации φj между парой узлов, т.е.:
X1 +X2 = φ1-4 =15;
X3 +X4 = φ5-2 =35;
для любой ветви сети связи суммарный поток информации, образованный путями, проходящими через эту ветвь, не может превышать пропускной способности этой ветви, поэтому из таблицы путей следует:
Х1+Х2 ≤ 16;
X1 ≤ 14;
X2 ≤ 16;
X3 ≤ 54;
X4 ≤ 16.
Так как необходимо минимизировать стоимость передачи информации по сети, целевую функцию следует максимизировать. Это объясняется следующим образом: чем ниже стоимость передачи для ветви, тем выше ценность данной ветви. Таким образом, получим:
Xi
0, i
= 1, 4;
X1 +X2=15;
X3 +X4 =35;
Х1+Х2+X4≤ 16;
X1+Х3≤ 90;
X1 +X2≤ 14
X1 ≤ 14;
X2 ≤ 16;
X3 ≤ 54;
X4 ≤ 16.
F = 0,0111 X1 + 0,0286X2 + 0,0147X3 + 0,04X4 → max
В данной системе присутствуют два равенства, а для решения задачи методами линейного программирования лучше использовать все неравенствами. Поэтому необходимо вести две вспомогательные переменные, которые войдут в целевую функцию с нулевыми коэффициентами. После этого знак равенства можно заменить на знак «меньше или равно»:
Xi 0, i = 1, 4;
X1 + X2 + Х5 ≤ 15;
X3 + X4 + Х6 ≤ 35;
…………………………………………
F = 0,0111 X1 + 0,0286X2 + 0,0147X3 + 0,04X4 → max
4. Решение задачи симплекс - методом
Для решения задачи симплекс-методом составляется исходная симплекс-таблица, содержащая М строк и N столбцов. В нее заносятся коэффициенты системы ограничений и целевой функции с соответствующими знаками. Переменные, расположенные в верхней строке симплекс-таблицы, являются свободными, т.е. независимыми переменными, а переменные в крайнем левом столбце таблицы называются базисными. Так как у нас имеется два равенства, то введем две дополнительные переменные.
Таблица 6. Исходная симплекс-таблица:
|
-x1 |
-x2 |
-x3 |
-x4 |
-x5 |
-x6 |
B |
Y1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
15 |
Y2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
35 |
Y3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
16 |
Y4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
90 |
Y5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
Y6 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16 |
Y7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
54 |
Y8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
16 |
Fmax |
-0,01 |
-0,03 |
-0,01 |
-0,04 |
0 |
0 |
0 |
Таблица 7. Конечная симплекс-таблица:
|
-X1 |
-Y1 |
-Y2 |
-Y3 |
-X5 |
-X6 |
B |
X2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
15 |
Х3 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
34 |
X4 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
Y4 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
56 |
Y5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14 |
Y6 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
Y7 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
20 |
Y8 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
15 |
Fmax |
0,02 |
0 |
0,01 |
0,03 |
0 |
0,01 |
0,97 |
Имеем оптимальные пути решения задачи:
По пути Х2 (1 – 5 – 6 – 4) = 15.
По пути Х3 (5 – 1 – 2) = 34.
Значение целевой функции F max = 0,97 – максимальная ценность передачи информации