Частота Найквиста, теорема Котельникова

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано академиком В.А.Котельниковым: "Любая непрерывная функция s(t), спектр которой ограничен частотой F_max полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал ". Частота 2F_max называется частотой Найквиста. Кроме того, теорема Котельникова дает и способ точного восстановления сигнала по его отсчетам: , где

Максимальные значения членов ряда будут при и равны , при этом все остальные члены ряда равны нулю, т. е. при функция s(t) точно передается рядом. Во все другие моменты времени необходимо суммировать бесконечное число отсчетов, чтобы передать s(t) точно.

Представление сигнала в виде ряда Котельникова является частным случаем разложения Фурье . Роль коэффициента выполняют отсчеты Базисными являются функции вида . Они называются функциями отсчетов.

Практическое осуществление дискретизации сигнала s(t) рядом Котельникова и дальнейшее его восстановление сводится к следующему. На передающей стороне через интервалы  определяются мгновенные значения сигнала и передаются в канал связи в виде импульсов с площадью, равной отсчету . На приемной стороне такая последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр нижних частот . При длительной передаче сигнал на выходе фильтра будет точно воспроизводить переданный непрерывный сигнал s(t).

Искажения восстановленного (по Котельникову) сигнала могут происходить по следующим причинам. Реальный сигнал имеет конечную длительность и, следовательно, обладает неограниченным спектром. Дискретизация его с интервалом  ограничивает спектр и, следовательно, искажает воспроизведение сигнала. С другой стороны, и при передаче непрерывного сигнала вследствие ограничения полосы пропускания аппаратуры сигнал искажается. Однако при дискретизации появляется дополнительное искажение за счет конечности числа отсчетов за ограниченное время длительности сигнала, в то время как их должно быть бесконечно много, т. к. ограничению спектра сигнала соответствует увеличение его длительности до бесконечности. Такое двойное искажение хотя и может частично компенсироваться, но создает трудности для теоретического анализа погрешности передачи.

Несмотря на невозможность точного воспроизведения сигнала ограниченной длительности (чем более короткий сигнал, тем больше ошибка воспроизведения), дискретизация и восстановление по Котельникову используется весьма широко при преобразовании сигнала в цифровую форму.

Вопрос 39.1. Ортогональное преобразование дискретных сигналов. Задачи интерполяции и прореживания сигналов Ортогональное преобразование дискретных сигналов

(см. также "спектральная плотность сигналов")

Как известно, наряду с описанием сигналов посредством задания их мгновенных значений в виде формул, определяющих зависимости от времени x(t). (т.е. во временной области, т.к. аргумент ‑ время t), существует и другой способ - спектральное представление сигналов, при котором сигналы задаются спектрами.

Переход от временного представления сигнала к спектральному и обратно называются ортогональными преобразованиями.

Каждому виду сигнала x(t) соответствует свой спектр X(j), связанный с x(t) преобразованием Фурье: ,

Преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

• при усилении в С раз , где C = const, ;

• при сложении функций , ;

• при задержке по времени , ;

• при масштабировании по времени в n раз , ;

• при умножении функций , (свертка);

• при n-кратном дифференцировании , ;

• при интегрировании ,