Вопрос 51.1. Евклидово пространство и его свойства. Ортонормированный базис.

Будем говорить, что в n-мерном действительном линейном про­странстве V_n определено скалярное умножение, если всякой паре векторов а, Ь поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и называемое скалярным произведе­нием векторов a и b, причем выполняются следующие условия (здесь a, b, c — любые векторы пространства V_n, a — любое дейст­вительное число):

1. (a , b)=(b , a)

2. (a+b , с) = (a , c) + (b , c)

3. (a a , b) = a (a , b)

4. Если a <> 0 то (a , a) > 0

т. е. скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор b, равно нулю; равен нулю, в частности, скалярный квадрат нуле­вого вектора.

Из 2 и 3 немедленно вытекает следующая формула для скалярного произведения линейных комбинаций двух систем векторов:

Если в n-мерном линейном пространстве определено скалярное умножение, то это пространство называется n-мерным евклидовым пространством.

При любом п в п-мерном линейном пространстве V_n можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

В самом деле, возьмем в пространстве V_n любой базис . Если

, , то положим (1)

Легко проверяется, что условия 1 — 4 будут выполнены.

Пусть дано произвольное n-мерное евклидово пространство Е_п, т. с. в n-мерном линейном пространстве произвольным способом определено скалярное умножение. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

(a, b) = 0.

Из свойства (4) следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору; могут существовать, однако, и ненулевые ортогональные векторы.

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линей­но независима.

Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса.

В дальнейшем важную роль будет играть один специальный вид ортогональных базисов; базисы этого вида соответствуют прямоугольным декартовым системам координат, используемым в аналитической гео­метрии.

Назовем вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице,

(b,b) =1.

Базис евклидова пространства Е_п называется ортонормированным, если он ортогонален, а все его векторы норми­рованы, т. е.

(1)

Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базисами.

Базис евклидова пространства Е_п тогда и только тогда будет ортонормированным, если скалярное про­изведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в ука­занном базисе, т. е. из

, (2)

(3)

Действительно, если для нашего базиса выполняются равенства (1), то

Обратно, если наш базис таков, что для любых векторов а и b, записанных в этом базисе в виде (2), справедливо равенство (3), то, беря в качестве а и b любые два вектора этом базисе е_i и е_j, раз­личные или одинаковые, мы из (3) выведем равенства (1).

Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранее доказательством существования n-мерных евклидовых пространств для любого п, можно высказать следующее утверждение: если в п-мерном линейном пространстве V_n выбран произвольный базис, то в V_n можно так задать скалярное умножение, что в полу­ченном евклидовом пространстве выбранный базис будет одним из ортонормированных базисов.