Основные критерии и параметры вариационных рядов нормального распределения

1. Среднее арифметическое значение (M). Оно находится путем суммирования всех значений признака в выборке (∑х) и деления на число членов выборки (n):

(1)

2. Среднее квадратическое отклонение (сигма или стандартное отклонение). Эта величина характеризует степень варьирования признака в статистической совокупности в абсолютных величинах:

(2)

Имеются и другие формулы расчета. Сигму в квадрате (σ²) называют дисперсией.

3. Коэффициент вариации (CV). Обычно вычисляют по формуле:

(3)

Характеризует вариабельность признака и показывает, какой процент составляет σ от среднего арифметического значения. Позволяет сравнивать разные выборки по степени их вариабельности или выравненности.

4. Стандартная ошибка средней (m) оценивает достоверность средней:

, (4)

где σ – сигма (среднее квадратическое отклонение) (2), n – объем выборки (счет). Обычно ошибку средней представляют в виде: M±m.

5. Достоверность средней арифметической оценивают по формуле:

, (5)

где t – критерий Стьюдента, M - средняя арифметическая (1), m – ее ошибка (4). Доверительные (табличные) уровни значения критерия Стьюдента находят в табличных приложениях книг по биометрии. Число степеней свободы принимают равным n-1.

6. Показатель точности определения средней (Cs). При оценке результатов наблюдения приходится оценить, насколько средняя величина соответствует генеральной совокупности или насколько точна средняя арифметическая. Обычно используют следующую формулу:

, (6)

где C_s – показатель точности, CV% - коэффициент вариации (3), n – объем выборки (счет). Точность средней выше, когда признак слабо варьирует и большой объем выборки. В биологии точность определения считается удовлетворительной, если C_s не превышает 3-5%.

7. Асимметрия или скошенность. Это мера отклонения распределения частот от симметричного их распределения относительно максимальной ординаты. Асимметрия может быть положительной или отрицательной – в зависимости от того мода (точка на оси абсцисс, соответствующая максимальной частоте теоретической кривой распределения вариант) находится справа или слева от среднего арифметического значения (рис. 2).

Рис. 2. Ассиметрия (верхний рисунок) и эксцесс (внизу): а – отрицательные и b – положительные показатели; M – средняя арифметическая, M_o - мода.

Асимметрия – информативный показатель при изучении биологических признаков. Например, при преобладании в популяции молоди рыб кривая распределения длины тела рыб будет иметь отрицательную асимметрию.

8. Эксцесс – мера измерения степени отклонения эмпирической кривой от нормальной теоретической кривой на своей вершине. Он, как и асимметрия, бывает положительным (островершинная кривая) и отрицательным (туповершинная).

9. Сравнение средних с помощью t-критерия Стьюдента (t–распределение) применяется для проверки гипотезы о различии выборочных средних величин, независимых или попарно связанных друг с другом, например, для сравнения значений средней численности рыб из разных водоемов. Для определения значимости разности пар служит отношение:

t = I x I / m,

величина которого сравнивается с критическим значением критерия Стьюдента при избранном уровне значимости и f = n-1 степени свободы, где n – число пар.

Практически в любой исследовательской работе устанавливают статистическую достоверность различий между результатами наблюдений. В учебниках по биометрии даны конкретные примеры сравнений (Лакин, 1980; Зайцев, 1984).

10. Оценка дисперсии с помощью F-критерия Фишера (F–распределение). Используют для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий (σ²₁=σ²₂).

11. Критерий хи-квадрат χ². Часто используется для оценки совпадения теоретической и эмпирической кривых, например, для проверки, соответствует ли ряд нормальному распределению, для сравнения генеральной совокупности и выборки, двух эмпирических рядов и т.д.

12. Критерий Колмогорова (К) предназначен для сравнения взвешенных рядов. Процедура расчетов несколько сходна с расчетом критерия лямбда (λ) (см. след. раздел).

Занятие 3.