2.4 Двойственность звп

В формулировке теоремы Куна- Таккера прямые и двойственные переменные входят симметричным образом. Поэтому можно ожидать, что аналогичная симметрия существует и для задач оптимизации относительно прямых и двойственных переменных .

Введем функцию: g(x)=sup(x,), при 0

Тогда очевидно ,что

g(x) = f(x), если g_i(x)0, i=1...m

g(x) =, в противном случае

Понятно, что (x,) = f(x)+(, g(x)),

Поэтому исходная ЗВП может быть записана в виде:

min g(x)-?, при xRⁿ

Эту задачупринято называть прямой.

Поступим аналогичным образом, поменяв роль переменных и операций max и min. Обозначим h()= inf, при xRⁿ

Задачу max h()-? при , называют двойственной.

Теорема двойственности:

Справедливы следующие соотношения двойственности:

1) f(x)h()xX,

2) Если выполнено условие т. Куна-Таккера, а пара (x*,*) является седловой точкой функции Лагранжа, то *-решение двойственной задачи.

* =argmax h(),при иf(x* )=h(*)

3)Если для допустимых x*, * : f(x*)=h(*), то

x* = argmin f(x), при xX

* = argmax h(),при 0

Доказательство:

1) f(x)f(x)+(,g(x))=(x,) inf (x, ) = h( ), при xRⁿ

2) Для всех 0 справедливо соотношение:

h(*)= inf (x ,*) = (x* , *) (x* , ) inf(x,) = h(),при xRⁿ

Отсюда *-решение двойственной задачи.

Но (x, *) = f(x*)h(*)=f(x*)

3) На основании 1) f(x)h(*) = (2)) f(x*)h()

тогда x*- прямое решение, *- двойственное решение

Продемонстрируем двойственность ЗВП на примере задачи линейного программирования (ЗЛП) , которая вкладывается в ЗВП.

Напомним, что функция f называется вогнутой, если f выпуклая функция, которая выпукла и вогнута одновременно, является афинной или линейной функцией.

2.4.1.Двойственность злп

X=xRⁿ, x, Axbb-вектор размерности n, A- матрица размерности mn.

f(x) = (c, x)- целевая функция (линейна)

ЗЛП: min f(x)-?, при xX- прямая задача линейного программирования.

Построим функцию Лагранжа.

=(c, x)+( ₁,b-Ax)+(  ₂,-x), ₁R^m, ₂Rⁿ (подгоняем под g_i(x)0).

Тогда min(c, x) = max inf (c, x)+( ₁, b-Ax)+( ₂, -x), при ₁0, ₂0, xRⁿ = (см. метод модификации функции Лагранжа) = max inf (c- A^T₁-₂, x)+( b, ₁)

при ₁0, ₂0, xRⁿ =

(_1, Ax)=(A^T₂, x)

= max , при ₁0, ₂0

= max (b, ₁) (при ₁0, ₂0, с=A^T₁+₂) = max (b, ₁) (при ₁0, с A^T₁)

= max (b, ) = (c, x*), с A^T,  0

max (b, ), с A^T,  0 - двойственная ЗЛП.

Таким образом, решение исходной ЗЛП может быть сведено к решению новой ЗЛП : максимизация (b, ) по множеству, определенному условиями с A^T,

 0.

Утверждения:

1. Вектор состояния  двойственной ЗЛП имеет размерность m- количество ограничений в исходной задаче (размерность вектора Ax).

2. Количество ограничений (кроме  0, неотрицательных) совпадает с размерностью вектора состояний в исходной задаче (вектора x).

3. Суммарное количество ограничений совпадает с (n + m) в обеих задачах.

4. Двойственная задача к двойственной дает исходную.

Когда какую задачу решать - зависит от числа ограничений и от размерности x.

Утверждение:

Двойственные переменные можно рассматривать как коэффициент чувствительности целевой функции к изменению параметров задачи.

Пусть x* ,  *- решения прямой и двойственной задач, причем эти решения единственны (достиг. в одной точке минимум x и в одной максимум )

Тогда f(x*) = (b, *), несколько изменим b: bb+b  min увеличился на

(b, *). При сдвиге b градиенты не изменились, _i остались теми же.

Обозначим h(b) = min f(x), Ax b, x 0.

Тогда при малых b:

h(b+b) = h(b) + (b, *), следовательно при b 0 получим:

, для компонент векторов

3. Линейное программирование

1. Основные понятия

ЗЛП : min f(x), xX

X={x Rⁿ : g _j(x) 0, j = 1...m}, f, g _j - линейны для любого j.

Таким образом ЗЛП- частный случай ЗНП.

Определение:

Функция называется линейной, если справедливо:

f(₁x₁+ ₂x₂) = ₁f(x₁) + ₂f(x₂), где _iR, x_iX.

В n-мерном пространстве линейная функция может быть определена так:

f(x) = (c,x)

f(x) = c₁x₁+ ....+ c_nx_n

Ограничения

Расширим класс задач

,

то есть передвинуть область в n-мерном пространстве.

Определение:

Если при задании допустимого множества X используются только неравенства, то это ЗЛП в стандартной форме.

Определение:

Если при задании X используются только равенства, то это .