Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ»

Кафедра САПР

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 9

по учебной дисциплине «методы оптимизации»

на тему «Исследование методов безусловной оптимизации нулевого порядка»

Вариант 1

Выполнили:

Смирнов С.А.

Маркосов А.С.

Баранов А.А.

Группа: 5372

Факультет: КТИ

Проверил:

(должность, Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2007

Оглавление:

Задание…………………………………………………………………………….3

Описание методов оптимизации…………………………………………………3

Спецификация программы……………………………………………………….4

Листинг программы ……………………………………………………………...5

Результаты тестирования и Выводы…………………….……………………….7

Ответы на контрольные вопросы………………………………………………...8

Задание:

Цель работы – исследование прямых методов многомерной минимизации и разработка программы, удовлетворяющей требованиям лабораторной работы 5.

Методы оптимизации:

М1 – метода конфигураций (Хука–Дживса);

Функция y(x)	Начальная точка (x1)t	Значение минимума (x*)t
(x2 – x12)2 + (1 – x1)2	(1.5; 2) (0; 0) (–1.2; 1)	(1; 1)
[1.5 – x1(1 – x2)]2 + [2.25 – x1(1 – x22)]2 + + [2.625 – x1(1 – x23)]2	(0; 0)	(3; 0.5)

Описание методов оптимизации:

Алгоритм ЗС-2

Начальный этап

1. Выбрать погрешность расчёта =10^-310^-7. Получить начальный интервал методом Свенна.

2. Вычислить стартовые точки ₁=a₁+0,382L₁, ₁=a₁+0,618L₁ (следует отметить, что золотые числа следует вычислять точно)

3. Принять k=1 – счётчик числа итераций

Основной этап

Шаг 1. Взять очередную пробную точку x₂=a_k+b_k-x₁, симметричную исходной и сократить ТИЛ рассмотрением 4-х возможных ситуаций:

1. Если (x₁<x₂) и (f(x₁)<f(x₂)) то b=x₂;

2. Если (x₁<x₂) и (f(x₁)>=f(x₂)) то a=x₁;

3. Если (x₁>x₂) и (f(x₁)<f(x₂)) a=x₂;

4. Если (x₁>x₂) и (f(x₁)>=f(x₂)) b=x₁;

Увеличить счётчик числа итераций k=k+1

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска: если |a_k+1-b_k+1| - остановиться – минимум найден. Точнее фиксируем аппроксимирующий минимум как . Иначе вернуться на Шаг 1.

Метод Хука-Дживса (конфигураций)

Эффективность прямого поиска точки минимума можно повысить, если на ка­ждом k-м шаге поиска соответствующим образом выбирать направление спуска. Для этого на каждом k-м шаге выделяют предварительный этап исследующего поиска. Целью этого этапа является выбор направления спуска путем исследования поведения целевой функции f(x) в окрестности точки xk-1, найденной на предыдущем шаге. В результате выполнения этапа исследующего поиска находится точка xk, для которой f(x^k) < f(x^k-1). Направление спуска, завершающего k-w. шаг поиска, определяется вектором x^k - x^k-1. Такая стратегия поиска, получила название метода Хука - Дживса.

Исследующий поиск 1

Вдоль координатных орт выполняют малые шаги. Т.е. локальное обследование точки х¹, для поиска лучшей чем х¹ точки. Если шаг удачный то точку фиксируют и продолжают шаги из неё, если не удачный то делают шаг в противоположную сторону, если полученная точка снова хуже, то по этой оси шаг не делается.

Ускоряющий поиск

Выполняем единичный шаг вдоль направления , . Затем производим исследующий поиск в окрестности x³, в надежде найти точку лучшую чем x².

Начальный этап

β = 10, ε = 10-4 – 10-8 , k = 1, х¹, h₁= … =h_n=0.1;

Основной этап

Шаг 1. Выполнить ИП1 и отыскать т. х² для которой .

Шаг 2. Если ИП1 удачен т.е. найдена х², то перейти на шаг 3, иначе, но в то же время h<ε необходимо уменьшить шаг в β раз и вернуться на шаг 1. При h<ε остановиться х* = х¹.

Шаг 3. Выполнить УП в пробную точку .

Обозначить .

В окрестности х3 попытаться ИП2 найти т. х⁴ «лучшую» чем х¹.

Шаг 4. Если ИП2 удачен, то положить и вернуться на шаг 1.

Иначе: уменьшить шаг в β раз и вернуться на шаг 1.

Спецификация программы:

Текст программы:

Алгоритм программы

Результаты тестирования программы

Функция	Результаты
(x2 – x12)2 + (1 – x1)2	X0=(0.000000;0.000000)) MIN= (1.000000;1.000000)
[1.5 – x1(1 – x2)]2 + [2.25 – x1(1 – x22)]2 + [2.625 – x1(1 – x23)]2	X0=(0.000000;0.000000)) MIN= (3.000000;0.500000)

При пошаговом выполнении выводится значение нормы вектора, по которой определяем критерий окончания поиска

Итерация	Норма вектора
1	1.41421
2	1.41421
3	0.141421
4	0.141421
5	0.141421
6	0.141421

Выводы:

Были изучены прямые методы многомерной минимизации и разработана программа, описывающая эти методы. При пошаговом выполнении программы вывели значение нормы вектора, по которой определяется критерий окончания поиска.

Ответы на контрольные вопросы:

1. Выполнить 2 шага аналитического решения задачи Вашего варианта задания.

Пусть дана функция: f(x1,x2)=(1-x2)^2+(x1-x2)^2, x1=(0,0)

Ш1: p1=-g1=

Ш2: x2==>f(a1)=(1-2*a1)^2+(-2*a1)^2

F’(a1)=-4(1-2*a1)+8*a1=0 => a1=1/4

Ш3: x2= Ш4: ||g1||=2>E

K=2

Ш1: p2=-g1+b1*p1 g2=g(x2)= => j1=g2-g1=

B1=(g2*j1)/(p1*j1)=

P2=-+1/4*= x3==

F(a2)=(1-1/2-1/2*a2)^2+(a2-1/2-1/2*a2)^2

F’(a2)=-1/8*(1-a2) => a2=1 =>x3== =>g3=g(x3)= =>||g3||=0 STOP

2. Как реализуется свойство параллельного подпространства в методах Пауэлла-1 и Пауэлла-2?

В методах Пауэлла-1 и Пауэлла-2 на Шаге 1, после спуска в точки xⁿ⁺¹ и xⁿ⁺² соответственно находим новое сопряженное направление d, которое либо d_k=xⁿ⁺¹-x¹, либо d_k+1=xⁿ⁺²-x²

3. Используя метод сопряженных градиентов найти точку x^k + 1 для функции y(x) = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² и x^k = (1; 1; 1)^t.

Ш1: p1=-g1==

Ш2: x2==>f(a1)=(1+4*a1)^2+2*(1+4*a1)*(1+4*a1)+(1+4*a1)^2

F’(a1)=32*(1+4*a1) =0 => a1=1/4

Ш3: x2= Ш4: ||g1||=(4+4+1)^1/2=3 > E

4. Определить характер матрицы Гессе функции y(x) = (x₂ – x₁)² +  + (1 – x₁)² в точке минимума x^* = (1; 1)^t. Используя матрицу Гессе найти направление, сопряженное к p = (1; 0)^t.

G= =>H=

P1*H*p2=0 =>

Пусть y=2 => x=1 => p2=

5. Для функции y(x) = 3x₁² + 5x₂² привести 2 итерации поиска Хука–Дживса.

Принять x¹ = (2; 1)^t, h = 0.5. => f(x1)=17

X1: z1=(2.5;1)=>y=23,75 z1=(1.5;1)=>y=11.75 +

X2: z1=(1.5;0.5)=>y=8 +

Получили точку x2=(1.5;0.5) => x3=2*x2-x1=2*x2=(3;1) x1=x2=(1.5;0.5)

X1: z1=(2;0.5)=>y=13.25 z1=(1;0.5)=>y=4.25+

X2: z1=(1;1)=>y=8 z1=(1;0)=3+

Получили x2=(1;0) => x3=2*x2-x1=(2;0) - (1.5;0.5)=(0.5;-0.5) x1=x2=(1;0)

X1: z1=(1;-0.5)=>y=4.25 z1=(0;0.5)=>y=1.25+

X2: z1=(0;0)=>y=0+

Получили х2=(0;0) =>x3=2*x2-x1=(-1;0) x1=x2;

X1: z1=(-1.5;0)=>y=0.75 z1=(-1.5;0)=>y=6.75

X2: z1=(-1;0.5)=>y=4.25 z1=(-1;-0.5)=4.25

Неудачный ИП=>возвращаемся на Ш1: x1=(0;0),h=h/b=h/10->прогоняем все снова и получим лучшую точку x*=(0;0) при уменьшении шага.

8