Лабораторная работа №12 / Lab1

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

кафедра ВТ

Лабораторная работа №1

Исследование методов поиска минимума унимодальных функций.

Выполнили: студенты гр. 3372

Варакин Д.

Манакова М.

Проверил:

Санкт-Петербург,

2005 г.

Цель работы:

Изучить методы поиска минимума унимодальной функции и реализовать в виде программы метод Свенна-Фибоначчи-1.

Вариант:

Вар. 3: функция f(x) = 2x² – e^x, начальная точка x = 1, точность локализации минимума =10^–3, значение минимума 0.357403.

Описание метода:

Начальный этап:

1. Методом Свенна, начиная от точки x₁ определить начальный интервал локализации минимума заданной функции – [a₁, b₁]; Выбрать длину конечного интервала в пределах 10^-4 - 10^-8.

2. Вычислить наименьшее число Фибоначчи, удовлетворяющее условию F_n > L₁/L_n, определить номер этого числа в последовательности чисел Фибоначчи.

3. Вычислить точки x₁ = a₁ + (F_n-2 / F_n) * L₁ и x₂ = a₁ + (F_n-1 / F_n) * L₁.

4. Установить k = 1 – счетчик числа итераций.

Основной этап:

1. Проверить КОП:

Если k = n-1, то сдвинуть x₂ вправо на . Сравнить значения функции в новых промежуточных точках и выбрать интервал, в котором находится минимум. В качестве ответа вернуть середину этого интервала.

2. Сократить ТИЛ:

Если f(x₁) < f(x₂), то b_k+1 = x₂, x₂ = x₁, x₁ = a_k+1 + (F_n-k-2 / F_n-k) * L_k+1.

иначе a_k+1 = x₁, x₁ = x₂, x₂ = a_k+1 + (F_n-k-1 / F_n-k) * L_k+1.

3. Увеличить счетчик числа итераций, вернуться к шагу 1.

Спецификация основных переменны и функций:

Имя	Тип	Входные данные	Вых. данные	Описание
Epsilon	double	-	-	Определяет критерий различимости значений функции.
a, b, x1, x2	double	-	-	На всех этапах указывают на границы ТИЛ и на новые промежуточные точки.
n	int	-	-	Определяет число итераций алгоритма (номер числа Фибоначчи, соответствующий п.2. начального этапа).
Func()	-	double x	double Func(x)	Заданная мат. функция.
Swann()	-	double *a, *b	double *a, *b	Реализует метод Свенна.
Fib()	-	int n	double Fib(n)	Определяет n-ое число Фиб.
Fibonacci()	-	double a,b; int n	double x	Реализует алгоритм Фиб-1.

Текст программы:

#include "math.h"

#include "conio.h"

// Точность вычислений

#define Ln 0.001

double Epsilon;

#define min(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))

#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))

// Заданная функция

double Func (double x)

{

return 2*x*x-exp(x);

}

// Реализация алгоритма Свенна (сокращение интервала поиска)

void Swann (double *a, double *b)

{

double x1 = 1; // Начальная точка поиска

double h = Func(x1)*0.001; // Начальный шаг

if (Func(x1) < Func(x1+h)) h *= -1; // Выбор направления поиска

while (Func(x1) > Func(x1+h)) // Сокращение интервала с удвоением шага

{

x1 += h;

h *= 2;

}

*a = min(x1+h, x1-h/2);

*b = max(x1+h, x1-h/2);

}

// Расчет n-ых чисел Фибоначи

double Fib (int n)

{

if (n < 1) return 0;

if (n != 1 && n != 2) return Fib(n-1) + Fib(n-2);

else return 1;

}

// Алогритм поиска минимума функции по алгоритму Фибоначи

double Fibonaci (double a, double b, int n)

{

int k = 1; // счетчик числа итераций

double x1 = a + (Fib(n-2)/Fib(n)) * (b-a), // промежуточные точки

x2 = a + (Fib(n-1)/Fib(n)) * (b-a); //

printf ("4. 1st iteration: x1 = %f, x2 = %f\n", x1, x2);

while (k <= n-1)

{

if (Func(x1) < Func(x2))

{

b = x2;

x2 = x1;

x1 = a + (Fib(n-k-2)/Fib(n-k)) * (b-a);

}

else

{

a = x1;

x1 = x2;

x2 = a + (Fib(n-k-1)/Fib(n-k)) * (b-a);

}

k++;

}

printf (" n-1 iter-s, x1 must be equal to x2: x1 = %f, x2 = %f\n", x1, x2);

x2 = x1 + Epsilon;

if (Func(x1) < Func(x2)) return (a+x2) / 2;

else return (b+x1) / 2;

}

int main(void)

{

// Выбор начального интервала локализации минимума

double a, b, x;

Swann(&a, &b);

printf ("1. Swann: minimum [%f, %f]\n", a, b);

// Выбор подходящего n

double L1_div_Ln = (b-a) / Ln;

int n = 1;

while (Fib(n) < L1_div_Ln) n++;

printf ("2. n = %d, Fib (%d) = %d\n", n, n, (int)Fib(n));

// Выбор критерия различимости значений

Epsilon = 1 / Fib(n+1);

printf ("3. Epsilon = %f\n", Epsilon);

// Основной этап

x = Fibonaci(a, b, n);

printf ("5. Fibonacci: x = %f\n Real: x = 0.357403\n", x);

printf ("\nPress any key to exit...");

getch();

return 0;

}

Примеры выполнения программы:

Точность	Результаты
Ln = 10-4	1. Swann: minimum [-0.470323, 0.632958] 2. n = 22, Fib (22) = 17711 3. Epsilon = 0.000035 4. 1st iteration: x1 = -0.048907, x2 = 0.211542 n-1 iter-s, x1 must be equal to x2: x1 = 0.357434, x2 = 0.357434 5. Fibonacci: x = 0.357451 Real: x = 0.357403
Ln = 10-3	1. Swann: minimum [-0.470323, 0.632958] 2. n = 17, Fib (17) = 1597 3. Epsilon = 0.000387 4. 1st iteration: x1 = -0.048907, x2 = 0.211542 n-1 iter-s, x1 must be equal to x2: x1 = 0.357310, x2 = 0.357310 5. Fibonacci: x = 0.357504 Real: x = 0.357403
Ln = 10-2	1. Swann: minimum [-0.470323, 0.632958] 2. n = 12, Fib (12) = 144 3. Epsilon = 0.004292 4. 1st iteration: x1 = -0.048931, x2 = 0.211566 n-1 iter-s, x1 must be equal to x2: x1 = 0.357138, x2 = 0.357138 5. Fibonacci: x = 0.359284 Real: x = 0.357403

Выводы:

Мы изучили методы поиска минимума унимодальной функции и реализовали в виде программы метод Свенна-Фибоначчи-1.