Лабораторная работа №32 / Отчёт

Отчёт по лабораторной работе №3

Исследование методов линейного поиска

Цель работы – разработка программы, реализующей комбинированную процедуру минимизации функции многих переменных в заданном направлении методами золотого сечения-2 – Дэвидона;

Описание методов.

1. Суть метода ЗС-2 заключается в том, что на каждом шаге (кроме последнего) текущий интервал локализации делится на отрезки, в том же отношении, что и 2 последовательных числа Фибоначчи. Как и в методе золотого-сечения действуют правила симметрии и одного вычисления. На начальном этапе задаётся начальный интервал [a₁, b₁] (методом Свенна)

   1. Предварительная часть:

а) определение исследуемого промежутка [a, b] методом Свенна-4. Выбор точности – ε;

2) Основная часть:

а) Вычисление 2- х симметричных точек m и l сокращение текущего интервала локализации рассмотрением четырёх случаев в зависимости от отношения значений функции и точках m и l.

б) проверка критерия окончания поиска (L<= ε). В случае, если критерий достигнут минимум функции = (a+b)/2, иначе – повторение шага а).

2. Метод Дэвидона

1) Предварительная часть

а) Задание начального шага, макс погрешности, начальной точки х¹

б) Нахождение вектора р, шага α.

в) Нахождение начального интервала методом Свенна 4.

2) Основной этап

а) Найти аппроксимирующий шаг по формуле.

б) Критерий окончания поиска: y’<ε, если не выполнен, то возвращаемся к пункту 1 в).

Спецификация

Функция	Переменная	Смысл
	X0	Начальная точка
	p	Направление поиска
y		Значение заданной функции
	Vector v	переменные
f		Значение заданной функции по линии
	double a	переменные
df		Производная заданной функции по линии
	double a	переменные
dyp		Производная заданной функции
	Vector х	переменные
Swann 4		метод Свенна4
	x	точки в которую делается шаг
	a0	Шаг
ZS2		Метод ЗС-2
	a b	Границы промежутка
	l,m	Точки на помежутке
	к	Счётчик
	e	погрешность
z		Формула для метода Дэвидона
w		Формула для метода Дэвидона
Davidon		метод Дэвидона
	a b	Границы промежутка
	e,ex	погрешность
	r	Шаг

Текст программы.

#include "stdafx.h"

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#define t 0.61803398874989484820458683436564

#include <math.h>

class CVector

{

public:

double x;

double y;

CVector operator+(CVector y_){return CVector(x+y_.x,y+y_.y);}

CVector operator-(CVector y_){return CVector(x-y_.x,y-y_.y);}

CVector operator*(double c ){return CVector(x*c,y*c);}

CVector operator-() {return CVector(-x,-y);}

double operator*(CVector y_){return x*y_.x+y*y_.y;}

operator double() {return sqrt(x*x+y*y);}//norm when converting to double

CVector(double x_,double y_) {x=x_;y=y_;}

};

//Начальные условия

CVector x0(1,1);

CVector p(2,3);

//Вычисление зеданной тестовой функции.

double y(CVector v)

{

return v.x*v.x+3*v.y*v.y+2*v.x*v.y;

}

//по линии

double f(double a)

{

return y(x0+p*a);

}

//произв по линии

double df(double a)

{ double e=0.00001

return (f(a+e)-f(a))/(e*(double)p);

}

double dyp(CVector x)

{

double e=0.00001

return (y(x+p*e)-y(x))/(e*(double)p);

}

//-----------------------

CVector Swann4(double &a0)

{

CVector x=x0;

double dy1=dyp(x);

if(dy1>0) p=-p;

do

{

x=x+p*a0;

a0*=2;

}while(dy1*dyp(x)< 0);

return x;

}

// Метод ЗС-2

double ZS2(double &a ,double &b, double e)

{

double l=a+t*(b-a);

int k=0; m=a+b-l;

do

{

m=a+b-l;

if(m<l && f(m)<f(l)) {b=l;l=m;}

if(l<m && f(l)<f(m)) {b=m;}

if(m<l && f(m)>f(l)) {a=m;}

if(l<m && f(l)>f(m)) {a=l;l=m;}

k++;

}while(k<100 && fabs(b-a)>e);

return (a+b)/2;

}

inline double z(double a, double b)

{return df(a)+df(a+b)+3*(f(a)-f(a+b))/b;}

inline double w(double a, double b)

{return sqrt(z(a,b)*z(a,b)-df(a)*df(a+b));}

// Метод Дэвидона

double Davidon(double a,double b ,double ex=0.000001)

{

b-=a;

double r;

do

{

r=b*(z(a,b)-df(a)-w(a,b))/(df(a+b)-df(a)+2*w(a,b));

if(df(r+a)>0) a=r;

else

{

a+=r;

b-=r;

}

}

while(r>ex );

return a+r;

}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

double a0=0.1;

CVector x=Swann4(a0);

double b=(x-x0).x/p.x;

double a=b-a0/2;

if(a>b){double temp=a; a=b; b=temp;}

double res=ZS2(a,b,0.0001);

printf("res vector: [%f,%f]\n",(x0+p*res).x,(x0+p*res).y);

res=Davidon(a,b,0.000001);

printf("res vector: [%f,%f]",(x0+p*res).x,(x0+p*res).y);

getch();

return 0;

}

Пошаговое выполнение метода ЗС-2

1 l=0.452786 m=0.452786 a=0.300000 b=0.547214

2 l=0.394427 m=0.394427 a=0.300000 b=0.452786

3 l=0.358359 m=0.358359 a=0.300000 b=0.394427

4 l=0.358359 m=0.336068 a=0.336068 b=0.394427

5 l=0.372136 m=0.372136 a=0.358359 b=0.394427

6 l=0.372136 m=0.380650 a=0.358359 b=0.380650

7 l=0.372136 m=0.366874 a=0.366874 b=0.380650

8 l=0.372136 m=0.375388 a=0.366874 b=0.375388

9 l=0.372136 m=0.370126 a=0.370126 b=0.375388

10 l=0.372136 m=0.373378 a=0.370126 b=0.373378

11 l=0.372136 m=0.371368 a=0.371368 b=0.373378

12 l=0.372136 m=0.372610 a=0.371368 b=0.372610

13 l=0.372136 m=0.371843 a=0.371843 b=0.372610

14 l=0.372136 m=0.372317 a=0.371843 b=0.372317

15 l=0.372136 m=0.372024 a=0.372024 b=0.372317

16 l=0.372136 m=0.372205 a=0.372024 b=0.372205

17 l=0.372093 m=0.372093 a=0.372024 b=0.372136

18 l=0.372093 m=0.372067 a=0.372067 b=0.372136

Пошаговое выполнение метода Дэвидона.

1

2

3

1 r=-0.000038 a=0.372029 b=0.000107

2 r=0.000017 a=0.372045 b=0.000091

3 r=0.000009 a=0.372054 b=0.000082

Выводы:

В результате проведения лабораторной работы была изучена минимизация функции многих переменных в заданном направлении методами золотого сечения-2 и Дэвидона;

Результат совпал с ожидаемым (указанным в задании и полученным построением). Из представленного пошагового выполнения программы видно, что метод Дэвидона обходится значительно меньшим количеством итераций.